Question

己知f（x）=Inx﹣ax²﹣bx．
（Ⅰ）若a=﹣1，函數f（x）在其定義域內是增函數，求b的取值范圍；
（Ⅱ）當a=1，b=﹣1時，證明函數f（x）只有一個零點；
（Ⅲ）f（x）的圖象與x軸交于A（x₁，0），B（x₂，0），兩點，AB中點為C（x₀，0），求證：f'（x₀）＜0．

Answer 1

解：（Ⅰ）依題意：f（x）=lnx+x²﹣bx f（x）在（0，+∞）上遞增，
∴ ≥0對x∈（0，+∞）恒成立
即 對x∈（0，+∞）恒成立，
只需    
∵x＞0，  當且僅當 時取=
∴  ∴b的取值范圍為       
（Ⅱ）當a=1，b=﹣1時，f（x）=lnx﹣x²+x，其定義域是（0，+∞）
∴ = 
∴0＜x＜1時，f′（x）＞0當x＞1時，f′（x）＜0
∴函數f（x）在區(qū)間（0，1）上單調遞增，在區(qū)間（1，+∞）上單調遞減
∴當x=1時，函數f（x）取得最大值，其值為f（1）=ln1﹣1+1=0
當x≠1時，f（x）＜f（1）=0
∴函數f（x）只有一個零點       
（Ⅲ）由已知得   兩式相減，
得  
由 及2x₀=x₁+x₂，得  = =  = = 
令 ∈（0，1）且 （0＜t＜1）
∴ 
∴在（0，1）上遞減，
∴＞=0
x₁＜x₂，f′（x₀）＜0