Question

己知f（x）=Inx-ax²-bx．
（Ⅰ）若a=-1，函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)是增函數(shù)，求b的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)a=1，b=-1時(shí)，證明函數(shù)f（x）只有一個(gè)零點(diǎn)；
（Ⅲ）f（x）的圖象與x軸交于A（x₁，0），B（x₂，0），兩點(diǎn)，AB中點(diǎn)為C（x₀，0），求證：f′（x₀）＜0．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依題意可得f（x）=lnx+x²-bx，由f（x）在定義域（0，+∞）上遞增，可得f′(x)=

1

x

+2x-b≥0對(duì)x∈（0，+∞）恒成立，即b≤

1

x

+2x對(duì)x∈（0，+∞）恒成立，只需b≤(

1

x

+2x)min   
（Ⅱ）當(dāng)a=1，b=-1時(shí)，f（x）=lnx-x²+x，其定義域是（0，+∞），
對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1），（1，+∞）上單調(diào)性可知
當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值，其值為f（1）=ln1-1+1=0，當(dāng)x≠1時(shí)，f（x）＜f（1）=0即函數(shù)f（x）只有一個(gè)零點(diǎn)       
（Ⅲ）由已知得 

f(x1)=lnx1-a x 2 1 -bx1=0 f(x2)=lnx2-a  x 2 2  -bx2=0

 兩式相減，得
ln

x1

x2

=a(x1+x2)(x1-x2)+b(x1-x2) 
由f′(x)=

1

x

-2ax-b及2x₀=x₁+x₂，得
f′(x0)=

1

x0

-2ax0-b=

1

x1-x2

[

2( x1 x2 -1)

x1 x2 +1

- ln

x1

x2

]，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的知識(shí)可證明

解答：解：（Ⅰ）依題意：f（x）=lnx+x²-bx
f（x）在（0，+∞）上遞增，∴f′(x)=

1

x

+2x-b≥0對(duì)x∈（0，+∞）恒成立
即b≤

1

x

+2x對(duì)x∈（0，+∞）恒成立，只需b≤(

1

x

+2x)min   …（2分）
∵x＞0，

1

x

+2x≥2

2

 當(dāng)且僅當(dāng)x=

2

2

時(shí)取=
∴b≤2

2

∴b的取值范圍為 (-∞，2

2

]     …（4分）
（Ⅱ）當(dāng)a=1，b=-1時(shí)，f（x）=lnx-x²+x，其定義域是（0，+∞）
∴f′(x)=

1

x

-2x+1=-

(x-1)(2x+1)

x

…（6分）
∴0＜x＜1時(shí)，f′（x）＞0當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＜0
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞減
∴當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值，其值為f（1）=ln1-1+1=0
當(dāng)x≠1時(shí)，f（x）＜f（1）=0即
∴函數(shù)f（x）只有一個(gè)零點(diǎn)       …（8分）
（Ⅲ）由已知得 

f(x1)=lnx1-a x 2 1 -bx1=0 f(x2)=lnx2-a  x 2 2  -bx2=0

 兩式相減，得
ln

x1

x2

=a(x1+x2)(x1-x2)+b(x1-x2) 
由f′(x)=

1

x

-2ax-b及2x₀=x₁+x₂，得
f′(x0)=

1

x0

-2ax0-b=

2

x1+x2

-[a(x1+x2)+b]=

2

x1+x2

-

1

x1-x2

ln

x1

x2

=

1

x1-x2

[

2(x1- x2)

x1+x2

-ln

x1

x2

]=

1

x1-x2

[

2( x1 x2 -1)

x1 x2 +1

- ln

x1

x2

]…（10分）
令t=

x1

x2

∈（0，1）且∅(t)=

2t-2

t+1

-lnt（0＜t＜1）
∴∅′(t)=-

(t-1)2

t(t+1)2

＜0
∴∅（t）在（0，1）上遞減，∴∅（t）＞∅（1）=0
x₁＜x₂，f′（x₀）＜0（12分）

點(diǎn)評(píng)：導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的結(jié)合是導(dǎo)數(shù)最為基本的考查，而函數(shù)的恒成立問題常轉(zhuǎn)化為利用相關(guān)知識(shí)求解函數(shù)的最值問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想在解題中的應(yīng)用，還考查了運(yùn)用基本知識(shí)進(jìn)行推理論證的能力