Question

【題目】已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在軸上，離心率為的橢圓C過(guò)點(diǎn)

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）設(shè)不過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線與橢圓C交于P,Q兩點(diǎn)，若,證明：點(diǎn)O到直線的距離為定值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)O到直線的距離為定值.

【解析】試題分析：（Ⅰ）利用待定系數(shù)法，根據(jù)題意列出方程組，解出即可；（Ⅱ）當(dāng)直線的斜率都存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，與橢圓的方程聯(lián)立可得點(diǎn)坐標(biāo)，從而可算得，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，在中可計(jì)算出的值，當(dāng)直線之一的斜率不存在時(shí)，另一個(gè)的斜率一定為0時(shí)，可得結(jié)果.

試題解析：（Ⅰ）由題意可設(shè)橢圓方程為

又解得，所以橢圓方程為.

（Ⅱ）當(dāng)直線的斜率都存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，則

得，解得

設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，在中，

由得

，所以點(diǎn)O到直線的距離為

當(dāng)直線之一的斜率不存在時(shí)，另一個(gè)的斜率一定為0，此時(shí)P,Q分別為橢圓的長(zhǎng)軸和短軸的端點(diǎn)，點(diǎn)O到直線的距離為

綜上可知，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)O到直線的距離為定值.