Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若滿足為上奇函數(shù)且為上偶函數(shù)，求的值；

（2）若函數(shù)滿足對(duì)恒成立，函數(shù)，求證：函數(shù)是周期函數(shù)，并寫出的一個(gè)正周期；

（3）對(duì)于函數(shù)，，若對(duì)恒成立，則稱函數(shù)是“廣義周期函數(shù)”， 是其一個(gè)廣義周期，若二次函數(shù)的廣義周期為（不恒成立），試?yán)�用廣義周期函數(shù)定義證明：對(duì)任意的，，成立的充要條件是.

Answer 1

【答案】（1）0；（2）證明見解析，正周期為24；（3）證明見解析

【解析】

（1）根據(jù)奇偶函數(shù)得到關(guān)于等式，對(duì)等式進(jìn)行變形可得到的周期，再采用賦值的方法計(jì)算出的值；

（2）討論與的關(guān)系，然后根據(jù)與周期的公倍數(shù)可求得的一個(gè)正周期；

（3）從充分性和必要性兩個(gè)方面分別證明.

（1）因?yàn)?/span>滿足為上奇函數(shù)，所以，所以，

又因?yàn)?/span>滿足為上偶函數(shù)，所以，所以，

所以有，所以，所以，

所以，所以的一個(gè)周期為，

又因?yàn)?/span>，所以，又因?yàn)?/span>，所以，

又因?yàn)?/span>，所以，所以；

（2）因?yàn)?/span>，

所以，

因?yàn)?/span>，所以，

所以是周期函數(shù)，一個(gè)正周期為；

（3）充分性：當(dāng)時(shí)，，

此時(shí)，所以充分性滿足；

必要性：因?yàn)槎�次函�?shù)的廣義周期為，

所以，所以，

所以，又因?yàn)?/span>不恒成立，

所以，所以，

又因?yàn)?/span>，所以，，

由可知：，即，所以必要性滿足.

所以：對(duì)任意的，，成立的充要條件是.