Question

己知函數(shù)f(x)=

1-a+lnx

x

，a∈R
（Ⅰ）求f（x）的極值；
（Ⅱ）若lnx-kx＜0在（0，+∞）上恒成立，求k的取值范圍；
（Ⅲ）當(dāng)正整數(shù)n＞8時(shí)，比較（

n

） 

n+1

與（

n+1

） 

n

的大�。�

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出導(dǎo)函數(shù)，找到導(dǎo)數(shù)為0的根，在檢驗(yàn)導(dǎo)數(shù)為0的根兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)即可求解
（Ⅱ）對(duì)lnx-kx＜0分離k，變形移向得出

lnx

x

＜k在（0，+∞）上恒成立．構(gòu)造函數(shù)g（x）=

lnx

x

，只需g（x）max＜k．轉(zhuǎn)化為求g（x）的最大值．
（Ⅲ）設(shè)a=（

n

） 

n+1

，b=（

n+1

） 

n

，分別取對(duì)數(shù)，并且

lna

lnb

=

n+1 ln n

n ln n+1

=

ln n n

ln n+1 n+1

，根據(jù)前兩問研究的g（x）=

lnx

x

的單調(diào)性，判斷出

ln n

n

＞

ln n+1

n+1

＞0，進(jìn)而得出a＞b．

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=

a-lnx

x2

，令f′（x）=0得x=e^a，
當(dāng)x∈（0，e^a）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)；
當(dāng)x∈（e^a，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)；
可知f（x）有極大值為f（e^a）=e^-a．
（Ⅱ）欲使lnx-kx＜0在（0，+∞）上恒成立，只需

lnx

x

＜k在（0，+∞）上恒成立．
令g（x）=

lnx

x

，只需g（x）max＜k．
g（x）=

lnx

x

，是題干中a=1時(shí)情形，由（Ⅰ）知，g（x）有最大值為f（e）=

1

e

．
所以k＞

1

e

．
（Ⅲ）設(shè)a=（

n

） 

n+1

，b=（

n+1

） 

n

，則lna=

n+1

ln

n

，lnb=

n

ln

n+1

，

lna

lnb

=

n+1 ln n

n ln n+1

=

ln n n

ln n+1 n+1

，考察函數(shù)g（x）=

lnx

x

，由（Ⅰ）可知，g（x）在（e，+∞）為減函數(shù)，
當(dāng)正整數(shù)n＞8時(shí)，

n

，

n+1

∈（e，+∞），所以g（

n

）＞g（

n+1

），即

ln n

n

＞

ln n+1

n+1

＞0，
即有

lna

lnb

＞1，lna＞lnb．等價(jià)于a＞b，即（

n

） 

n+1

＞（

n+1

） 

n

．

點(diǎn)評(píng)：本題是函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，最值的應(yīng)用，涉及到分離參數(shù)的解題方法．能夠?qū)�問題轉(zhuǎn)化，聯(lián)系到函數(shù)的性質(zhì)，是達(dá)到較高水平的體現(xiàn)．