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          已知函數f(x)=2acos2x+bsinxcosx,且f(0)=2,f(
          π
          3
          )=
          1
          2
          +
          3
          2

          (Ⅰ)求a,b的值及f(x)的最小值;
          (Ⅱ)若α-β≠kπ,k∈Z且α,β是方程f(x)=0的兩個根,求證:sin(α+β)=cos(α+β).
          分析:(I)根據二倍角公式化簡函數f(x)=acos2x+
          b
          2
          sin2x+a,然后將x=0,x=
          π
          3
          代入求出a,b的值,進而由余弦函數的特點求出最小值.
          (II)根據方程的根可得出sin(2α+
          π
          4
          )=sin(2β+
          π
          4
          ),然后由三角函數的特點可知2α+
          π
          4
          =2kπ+π-(2β+
          π
          4
          )進而得出α+β=kπ+
          π
          4
          ,即可知tan(α+β)=1,從而證明結論.
          解答:解:(Ⅰ)f(x)=acos2x+
          b
          2
          sin2x+a
          由f(0)=2 f(
          π
          3
          )=
          1
          2
          +
          3
          2

          a+a=2
          -
          a
          2
          +
          3
          b
          4
          +a=
          1
          2
          +
          3
          2

          解得a=1 b=2
          所以f(x)=cos2x+sin2x+1=
          2
          sin(2x+
          π
          4
          )+1
          所以f(x)min=1-
          2
          ,此時x=kπ+
          8
          ,k∈Z
          (Ⅱ)α,β是方程
          2
          cos(2x-
          π
          4
          )+1=0的兩個根
          2
          sin(2α+
          π
          4
          )+1=
          2
          sin(2β+
          π
          4
          )+1即sin(2α+
          π
          4
          )=sin(2β+
          π
          4

          ∴2α+
          π
          4
          =2kπ+2β+
          π
          4
           ①或2α+
          π
          4
          =2kπ+π-(2β+
          π
          4
          )②
          α-β≠kπ,
          ∴①舍去,由②得
          α+β=kπ+
          π
          4

          ∴tan(α+β)=tan(kπ+
          π
          4
          )=1
          sin(α+β)
          cos(α+β)
          =1

          即sin(α+β)=cos(α+β).
          點評:此題考查了二倍角公式和兩角和與差公式,熟練掌握公式是解題的關鍵,屬于中檔題.
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