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        1. 已知函數(shù)f(x)=2acos2x+bsinxcosx,且f(0)=2,f(
          π
          3
          )=
          1
          2
          +
          3
          2

          (Ⅰ)求a,b的值及f(x)的最小值;
          (Ⅱ)若α-β≠kπ,k∈Z且α,β是方程f(x)=0的兩個(gè)根,求證:sin(α+β)=cos(α+β).
          分析:(I)根據(jù)二倍角公式化簡(jiǎn)函數(shù)f(x)=acos2x+
          b
          2
          sin2x+a,然后將x=0,x=
          π
          3
          代入求出a,b的值,進(jìn)而由余弦函數(shù)的特點(diǎn)求出最小值.
          (II)根據(jù)方程的根可得出sin(2α+
          π
          4
          )=sin(2β+
          π
          4
          ),然后由三角函數(shù)的特點(diǎn)可知2α+
          π
          4
          =2kπ+π-(2β+
          π
          4
          )進(jìn)而得出α+β=kπ+
          π
          4
          ,即可知tan(α+β)=1,從而證明結(jié)論.
          解答:解:(Ⅰ)f(x)=acos2x+
          b
          2
          sin2x+a
          由f(0)=2 f(
          π
          3
          )=
          1
          2
          +
          3
          2

          a+a=2
          -
          a
          2
          +
          3
          b
          4
          +a=
          1
          2
          +
          3
          2

          解得a=1 b=2
          所以f(x)=cos2x+sin2x+1=
          2
          sin(2x+
          π
          4
          )+1
          所以f(x)min=1-
          2
          ,此時(shí)x=kπ+
          8
          ,k∈Z
          (Ⅱ)α,β是方程
          2
          cos(2x-
          π
          4
          )+1=0的兩個(gè)根
          2
          sin(2α+
          π
          4
          )+1=
          2
          sin(2β+
          π
          4
          )+1即sin(2α+
          π
          4
          )=sin(2β+
          π
          4

          ∴2α+
          π
          4
          =2kπ+2β+
          π
          4
           ①或2α+
          π
          4
          =2kπ+π-(2β+
          π
          4
          )②
          α-β≠kπ,
          ∴①舍去,由②得
          α+β=kπ+
          π
          4

          ∴tan(α+β)=tan(kπ+
          π
          4
          )=1
          sin(α+β)
          cos(α+β)
          =1

          即sin(α+β)=cos(α+β).
          點(diǎn)評(píng):此題考查了二倍角公式和兩角和與差公式,熟練掌握公式是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=2-
          1
          x
          ,(x>0),若存在實(shí)數(shù)a,b(a<b),使y=f(x)的定義域?yàn)椋╝,b)時(shí),值域?yàn)椋╩a,mb),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( 。

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=2+log0.5x(x>1),則f(x)的反函數(shù)是( 。

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=2(m-1)x2-4mx+2m-1
          (1)m為何值時(shí),函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn);
          (2)如果函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)在原點(diǎn),求m的值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          (2013•上海)已知函數(shù)f(x)=2-|x|,無(wú)窮數(shù)列{an}滿足an+1=f(an),n∈N*
          (1)若a1=0,求a2,a3,a4;
          (2)若a1>0,且a1,a2,a3成等比數(shù)列,求a1的值
          (3)是否存在a1,使得a1,a2,…,an,…成等差數(shù)列?若存在,求出所有這樣的a1,若不存在,說(shuō)明理由.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          選修4-5:不等式選講
          已知函數(shù)f(x)=2|x-2|-x+5,若函數(shù)f(x)的最小值為m
          (Ⅰ)求實(shí)數(shù)m的值;
          (Ⅱ)若不等式|x-a|+|x+2|≥m恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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          同步練習(xí)冊(cè)答案