Question

（本小題滿分14分）
在一個(gè)半徑為1的半球材料中截取三個(gè)高度均為h的圓柱，其軸截面如圖所示，設(shè)三個(gè)圓柱體積之和為。

（１） 求f(h)的表達(dá)式，并寫出h的取值范圍是 ；
（２） 求三個(gè)圓柱體積之和V的最大值；

Answer 1

(1)的取值范圍是；⑵三個(gè)圓柱體積和的最大值為．

本試題是以半球?yàn)楸尘�，表示圓柱體的高度的關(guān)系式，以及體積的運(yùn)用，并結(jié)合導(dǎo)數(shù)來求解最值問題。
（1）利用球的半徑和圓柱的高度得到關(guān)于r與半徑的關(guān)系式，從而得到高度的表示。
（2）而圓柱體的體積就是底面積乘以高，那么三個(gè)柱體的體積可以借助于第一問中的高度表示出來，再集合導(dǎo)數(shù)的思想求解體積的最值。
解:(1)自下而上三個(gè)圓柱的底面半徑分別為：
．      ………………………………3分
它們的高均為，所以體積和
 6分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823222642034497.png" style="vertical-align:middle;" />，所以的取值范圍是； ………………………………………7分
⑵ 由得，    ………………9分
又，所以時(shí)，；時(shí)，．11分
所以在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，
所以時(shí)，取最大值，的最大值為． ………13分
答：三個(gè)圓柱體積和的最大值為． …………………………………………14分