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        1. 設(shè)函數(shù)f(x)是定義在x∈[-1,1]上的偶函數(shù),函數(shù)g(x)的圖象與f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱,且當(dāng)x∈[2,3]時(shí),g(x)=2a(x-2)-4(x-2)3
          ①求f(x)的解析式;
          ②是否存在正整數(shù)a,使f(x)的最大值為12?若存在求出a的值,若不存在說明理由.
          (1)設(shè)f(x)的圖象上任意點(diǎn)(x,f(x)),
          它關(guān)于直線x=1的對(duì)稱點(diǎn)(2-x,f(x))在g(x)的圖象上,
          當(dāng)x∈[-1,0]時(shí),2-x∈[2,3],且g(x)=2a(x-2)-4(x-2)3
          ∴f(x)=g(2-x)=-2ax+4x3,
          當(dāng)x∈(0,1]時(shí),-x∈[-1,0),∴f(-x)=2ax-4x3,
          又∵f(x)是定義在x∈[-1,1]上的偶函數(shù),
          ∴f(x)=2ax-4x3,
          f(x)=
          -2ax+4x3      (-1≤x≤0)
          2ax-4x3          (0<x≤1)
          ,
          (2)假設(shè)存在正整數(shù)a,使函數(shù)f(x)的最大值為12,
          又f(x)為偶函數(shù),故只需研究函數(shù)f(x)=2ax-4x3在x∈(0,1]的最大值
          令f′(x)=2a-12x2=0,得x=
          a
          6
          (a>0)

          a
          b
          ∈(0,1],即0<a≤6
          時(shí):
          x∈(0,
          a
          6
          ],f′(x)>0,f(x)
          單調(diào)遞增,
          x∈(
          a
          6
          ,1],f′(x)<0,f(x)
          單調(diào)遞減,
          [f(x)]max=f(
          a
          6
          )=2a×
          a
          6
          -4(
          a
          6
          )
          3
          <2a×
          a
          6
          ≤12

          故此時(shí)不存在符合題意的a,
          a
          6
          >1,即a>6
          時(shí),f′(x)>0在(0,1]上恒成立,
          則f(x)在(0,1]上單調(diào)遞增,
          [f(x)]max=f(1)=2a-4
           
          ,
          令2a-4=12,得a=8,
          綜上,存在a=8滿足題意.
          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

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          設(shè)函數(shù)f(x)是定義在(-∞,+∞)上的增函數(shù),如果不等式f(1-ax-x2)<f(2-a)對(duì)于任意x∈[0,1]恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          設(shè)函數(shù)f(x)是定義在(0,+∞)上的減函數(shù),并且滿足f(xy)=f(x)+f(y),f(
          1
          3
          )=1

          (1)求f(
          1
          9
          )
          ;
          (2)若f(x)+f(2-x)<2,求x的取值范圍.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          設(shè)函數(shù)f(x)是定義在[-1,0)∪(0,1]上的偶函數(shù),當(dāng)x∈[-1,0)時(shí),f(x)=x3-ax(a∈R).
          (1)當(dāng)x∈(0,1]時(shí),求f(x)的解析式;
          (2)若a>3,試判斷f(x)在(0,1]上的單調(diào)性,并證明你的結(jié)論;
          (3)是否存在a,使得當(dāng)x∈(0,1]時(shí),f(x)有最大值1?

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          設(shè)函數(shù)f(x)是定義在[a,b]上的奇函數(shù),則f(a+b)=
          0
          0

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù).若當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=
          |1-
          1
          x
          0
          x>0;,
          x=0.

          (1)求f(x)在(-∞,0)上的解析式.
          (2)請(qǐng)你作出函數(shù)f(x)的大致圖象.
          (3)當(dāng)0<a<b時(shí),若f(a)=f(b),求ab的取值范圍.
          (4)若關(guān)于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0有7個(gè)不同實(shí)數(shù)解,求b,c滿足的條件.

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          同步練習(xí)冊答案