Question

已知A、B、C為直線l上三點(diǎn)，且AB=BC=a；P為l外一點(diǎn)，且∠APB=90°，∠BPC=45°，求
（1）∠PBA的正弦、余弦、正切；
（2）PB的長；
（3）P點(diǎn)到l的距離．

Answer 1

分析：（1）過P點(diǎn)作PD⊥AB交AB于點(diǎn)D，過點(diǎn)B作BE∥AP交PC于點(diǎn)E依題意可知∠PBE=90°，∠PEB=45°，PB=BE，再根據(jù)△CPA∽△CEB相應(yīng)邊的比相等，可求的

PA

BE

，由于PB=BE，進(jìn)而可得

PA

PB

的值，求得tan∠PBA，再根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系可求得cos∠PBA和sin∠PBA．
（2）在直角三角形APB中，根據(jù)PB=AB•cos∠PBA求得PB．
（3）P點(diǎn)到l的距離即為圖中PD的長度，在直角三角形PDB中，根據(jù)PD=PB•sin∠PBA，求得PD的長度．

解答：解：過P點(diǎn)作PD⊥AB交AB于點(diǎn)D（如圖）
（1）過點(diǎn)B作BE∥AP交PC于點(diǎn)E
則∠PBE=90°，∠PEB=45°，PB=BE．
∵△CPA∽△CEB，
∴

PA

BE

=

2a

a

=2，
因PB=BE，
∴

PA

PB

=2，tan∠PBA=2．
又∵1+tg²∠PBA=sec²∠PBA，∠PBA為銳角，
∴sec∠PBA=

1+tg2∠PBA

=

5

，cos∠PBA=

1

5

=

5

5

，sin∠PBA=tan∠PBA•cos∠PBA=

2 5

5

．

（2）PB=AB•cos∠PBA=

5

5

a．
（3）∵PB=

5

5

a，sin∠PBA=

2 5

5

，
∴PD=PB•sin∠PBA=

2

5

a．
綜上，所求為
（1）∠PBA的正弦、余弦、正切分別是

2

5

5

，

1

5

5

，2；
（2）PB的長為

1

5

5

a；
（3）P點(diǎn)到l的距離為

2

5

a．

點(diǎn)評：本題主要考查三角形中的幾何計(jì)算．要充分利用好三角形中的特殊角如90°，60°，45°等利用三角函數(shù)關(guān)系來解決問題．