Question

在直三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，∠BAC=

π

2

，AB=AC=AA₁=1，已知G和E分別為A₁B₁和CC₁的中點，D與F分別為線段AC和AB上的動點（不包括端點），若GD⊥EF，則線段DF的長度的最小值是（　�。�

• A．

  3 5

  5

• B．1
• C．

  2 5

  5

• D．

  5

  5

Answer 1

分析：分別以AB、AC、AA₁為xyz軸，建立如圖坐標系，設(shè)AF=a，AD=b，得F、D的坐標關(guān)于a、b的形式，從而得到向量的坐標

GD

和

EF

的坐標，由

GD

•

EF

=0列式并化簡，解出

1

2

a+b=

1

2

，從而將

|DF|

化簡為

1

2

5a2-2a+1

，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得線段DF的長度的最小值．

解答：解：分別以AB、AC、AA₁為xyz軸，建立如圖坐標系，
設(shè)AF=a，AD=b，則F（a，0，0），D（0，b，0）
由已知條件，得E（0，1，

1

2

），G（

1

2

，0，1）
∴

GD

=（-

1

2

，b，-1），

EF

=（a，-1，-

1

2

）
∵

GD

⊥

EF

∴

GD

•

EF

=(- 

1

2

 ，b ，-1)•(a ， -1 ， -

1

2

)=0，
化簡，得

1

2

a+b=

1

2

，
而

|DF|

=

a2+b2

，把b=-

1

2

a+

1

2

代入上式化簡得：

|DF|

=

a2+ 1 4 (1-a)2

=

1

2

5a2-2a+1

∴當(dāng)a=

1

5

時，

|DF|

的最小值為

5

5

故選：D

點評：本題給出特殊直三棱柱中兩條空間直線垂直，求動點距離的最小值，著重考查了空間位置關(guān)系與距離、利用空間向量求距離最值等知識，屬于中檔題．