Question

如圖，在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中， ，直線B₁C與平面ABC成45°角.

（1）求證：平面A₁B₁C⊥平面B₁BCC₁；

（2）求二面角A—B₁C—B的余弦值.

 

Answer 1

【答案】

（1）參考解析；（2）

【解析】

試題分析：(1)要證明平面⊥平面，從圖形中確定證明垂直于平面.從而要在平面中找到兩條相交直線與垂直.顯然.通過計算可得直線.所以可得直線與平面垂直.

（2）要求二面角A—B₁C—B的余弦值，要找的這二面角的平面角.通過計算可得是等邊三角形，并且是等腰直角三角形.所以只要取的中點(diǎn)O.即可得角AOB為所求的二面角的平面角.應(yīng)用余弦定理即可求得.

試題解析：(1)證：∵BB₁⊥面ABC

∴B₁C與面ABC所成的角為∠B₁CB

∴∠B₁CB=45⁰

∵BB₁=1

∴BC=1

又∵BA=1,AC=

∴AB²+BC²=AC²

∴AB⊥BC

∵BB₁⊥AB

BB₁∩BC=B

∴AB⊥面B₁BCC₁

∵A₁B₁//AB

∴A₁B₁⊥面B₁BCC_1.∵A₁B₁面A₁B₁C

∴面A₁B₁C⊥面B₁BCC₁

（2）因?yàn)橹苯侨�角�?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014041704305057815809/SYS201404170431355625853532_DA.files/image011.png">中，.所以.所以為等邊三角形.又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014041704305057815809/SYS201404170431355625853532_DA.files/image015.png">為等腰三角形.所以取得中點(diǎn)O，連結(jié)AO,BO，則所以為二面角A--B的平面角.因?yàn)橹苯侨�角�?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014041704305057815809/SYS201404170431355625853532_DA.files/image018.png">中. .在等邊三角形中. .所以在三角形中.

考點(diǎn)：1.面面垂直的判定定理.2.求二面角.