Question

已知函數(shù).
（1）當時，求函數(shù)在上的最大值；
（2）令，若在區(qū)間上不單調(diào)，求的取值范圍；
（3）當時，函數(shù)的圖像與x軸交于兩點，且，又是的導函數(shù)，若正常數(shù)滿足條件.證明：.

Answer 1

(1)-1；(2)  ；(3)參考解析

解析試題分析：(1)因為函數(shù)，當時.求出函數(shù)的導數(shù)，即可得到上函數(shù)的單調(diào)性，從而得到函數(shù)的最大值.
(2)因為，若在區(qū)間上不單調(diào)，即等價于函數(shù)在（0，3）上有實數(shù)解，且無重根.所以由，分離變量，通過研究函數(shù)，的范圍，即可得到取值范圍.
(3)因為當時，函數(shù)的圖像與x軸交于兩點，所以可得即可用表示m.又由化簡.可消去m.即可得到關(guān)于的代數(shù)式，再利用導數(shù)知識求出的最值即可得結(jié)論.
試題解析：（1）
函數(shù)在[,1]是增函數(shù)，在[1,2]是減函數(shù)，
所以．
（2）因為，所以，
因為在區(qū)間上不單調(diào)，所以在（0，3）上有實數(shù)解，且無重根，
由，有=，（）
所以
（3）∵，又有兩個實根，
∴，兩式相減，得，
∴,
于是
．
．
要證：，只需證：
只需證：．(*)
令，∴(*)化為 ，只證即可． 在（0，1）上單調(diào)遞增，，即．
∴．
考點：1.函數(shù)的最值.2.函數(shù)的單調(diào)性的應用.3.等價變換數(shù)學思想.4.換元的數(shù)學思想.5.運算量較大屬于有難度題型.