[題目]過直線上一動點不在軸上)作焦點為的拋物線的兩條切線, 為切點,直線分別與軸交于點.(Ⅰ)求證: .并求的外接圓面積的最小值,(Ⅱ)求證:直線恒過一定點. 題目和參考答案——青夏教育精英家教網—

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【題目】過直線上一動點不在軸上)作焦點為的拋物線的兩條切線, 為切點,直線分別與軸交于點.

(Ⅰ)求證: ，并求的外接圓面積的最小值；

(Ⅱ)求證:直線恒過一定點。

【答案】(Ⅰ)證明見解析，外接圓面積最小值為： .(Ⅱ)證明見解析.

【解析】試題分析：(1)寫出拋物線方程，聯(lián)立直線和拋物線的方程，得到關于的一元二次方程，利用判別式為0判定兩直線垂直，進而求得外接圓的最小值；(2)先得到直線方程，再代點確定點的關系，進而得到直線的方程，再驗證恒過定點 .

試題解析：( I )

設，則直線為，與聯(lián)立，得：

因為相切，所以，得：，又，所以即，同理：，所以為的外接圓，又因為：，所以的外接圓面積最小值為： .

（Ⅱ）設點，

易知：直線方程為：，

代入點坐標得：，同理：，

所以直線方程為：，又點滿足：

所以直線恒過定點

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