Question

設(shè)函數(shù)f（x）=（x-1）²+blnx，其中b為常數(shù)．
（1）當(dāng)b＞

1

2

時，判斷函數(shù)f（x）在定義域上的單調(diào)性；
（2）若函數(shù)f（x）的有極值點，求b的取值范圍及f（x）的極值點；
（3）求證對任意不小于3的正整數(shù)n，不等式

1

n2

＜ln(n+1)-lnn＜

1

n

都成立．

Answer 1

（1）由題意知，f（x）的定義域為（0，+∞），
f′(x)=2x-2+

b

x

=

2x2-2x+b

x

=

2(x- 1 2 )2+b- 1 2

x

(x＞0)
∴當(dāng)b＞

1

2

時，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）在定義域（0，+∞）上單調(diào)遞增．
（2）①由（Ⅰ）得，當(dāng)b＞

1

2

時，函數(shù)f（x）在定義域上無極值點．
②b=

1

2

時，f′(x)=

(2x-1)2

2x

=0有兩個相同的解x=

1

2

，但當(dāng)x∈(0，

1

2

)時，f′(x)＞0；當(dāng)x∈(

1

2

，+∞)時，f′(x)＞0時，
∴b=

1

2

時，函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上無極值點．
③當(dāng)b＜

1

2

時，f'（x）=0有兩個不同解，x1=

1

2

-

1-2b

2

，x2=

1

2

+

1-2b

2

∴（i）b≤0時，x1=

1

2

-

1-2b

2

≤0∉(0，+∞)，舍去，而x2=

1

2

+

1-2b

2

≥1∈(0，+∞)，
此時f'（x），f（x）隨x在定義域上的變化情況如表：

x	（0，x2）	x2	（x2，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）	減	極小值	增

由此表可知：∵b≤0時，f（x）有惟一極小值點，x=

1

2

+

1-2b

2

，
（ii）當(dāng)0＜b＜

1

2

時，0＜x₁＜x₂＜1
此時，f'（x），f（x）隨x的變化情況如下表：

x	（0，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增	極大值	減	極小值	增

由此表可知：0＜b＜

1

2

時，f（x）有一個極大值x1=

1

2

-

1-2b

2

和一個極小值點x2=

1

2

+

1-2b

2

；
綜上所述：當(dāng)且僅當(dāng)b＜

1

2

時f（x）有極值點；
當(dāng)b≤0時，f（x）有惟一最小值點，x=

1

2

+

1-2b

2

；
當(dāng)0＜b＜

1

2

時，f（x）有一個極大值點x=

1

2

-

1-2b

2

和一個極小值點x=

1

2

+

1-2b

2

（3）由（2）可知當(dāng)b=-1時，函數(shù)f（x）=（x-1）²-lnx，
此時f（x）有惟一極小值點x=

1

2

+

1-2b

2

=

1+ 3

2

且x∈(0，

1+ 3

2

)時，f′(x)＜0，f(x)在(0，

1+ 3

2

)為減函數(shù) 

∵當(dāng)n≥3時，0＜1＜1+ 1 n ≤ 4 3 ＜ 1+ 3 2 ， ∴恒有f(1)＞f(1+ 1 n )，即恒有0＞ 1 n2 -ln(1+ 1 n ) ∴當(dāng)n≥3時恒有l(wèi)n(n+1)-lnn＞ 1 n2 成立

 
令函數(shù)h（x）=（x-1）-lnx（x＞0）則h′(x)=1-

1

x

=

x-1

x

              

∴x＞1時，h′(x)＞0，又h(x)在x=1處連續(xù)∴x∈[1，+∞)時h(x)為增函數(shù) ∵n≥3時1＜1+ 1 n ∴h(1+ 1 n )＞h(1)即 1 n -ln(1+ 1 n )＞0 ∴l(xiāng)n(n+1)-lnn=ln(1+ 1 n )＜ 1 n 綜上述可知n≥3時恒有 1 n ＞ln(n+1)-lnn＞ 1 n2