Question

己知橢圓C：（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F（1，0），點(diǎn)A（2，0）在橢圓C上，斜率為1的直線與橢圓C交于不同兩點(diǎn)M，N.
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)直線過(guò)點(diǎn)F（1，0），求線段的長(zhǎng)；
（3）若直線過(guò)點(diǎn)（m，0），且以為直徑的圓恰過(guò)原點(diǎn)，求直線的方程.

Answer 1

（1）橢圓C的方程；（2）線段的長(zhǎng)為；（3）直線的方程為 .

解析試題分析：（1）根據(jù)橢圓的右焦點(diǎn)為F（1，0），點(diǎn)A（2，0）在橢圓C上，代入即可求得橢圓C的方程；（2）先用點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線方程，再和橢圓方程聯(lián)立，用弦長(zhǎng)公式即可求出線段的長(zhǎng)為；（3）設(shè)直線的方程為，直線與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)設(shè)為，，把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，表示出，而以線段為直徑的圓恰好過(guò)原點(diǎn)，即；聯(lián)立即可求出直線的方程為 .
試題解析：（1）由題意：，，，
所求橢圓方程為.                                            4分
（2）由題意，直線的方程為：.
由得， 
所以.             6分
（3）設(shè)直線的方程為，
由消去y整理得.
因?yàn)橹本�l與橢圓C交于不同兩點(diǎn)M、N，
所以
解得：
設(shè)，，
則，，
所以，
因?yàn)橐跃�段為直徑的圓恰好過(guò)原點(diǎn)，所以，
所以，即
解得，.
所求直線的方程為               10分
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線綜合問(wèn)題、方程思想的應(yīng)用.