Question

【題目】設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，對(duì)任意的正整數(shù)n，都有成立，記.

(1)求數(shù)列與數(shù)列的通項(xiàng)公式；

(2)求證：①對(duì)恒成立.②對(duì)恒成立，其中為數(shù)列的前n項(xiàng)和.

(3)記，為的前n項(xiàng)和，求證：對(duì)任意正整數(shù)n，都有.

Answer 1

【答案】(1)，；(2)①證明見解析；②證明見解析；(3)證明見解析.

【解析】

（1）利用遞推關(guān)系式證得數(shù)列是等比數(shù)列，由此求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.

（2）①利用（1）中求得的數(shù)列的通項(xiàng)公式，化簡，由此證得.

②將分成偶數(shù)和奇數(shù)兩種情況，利用分組求和法，證得對(duì)恒成立.

（3）化簡，得到，利用放縮法證得.

(1)解：當(dāng)時(shí)，，∴.

又∵，，

∴，即，

∴數(shù)列成等比數(shù)列，其首項(xiàng)為，公比，

∴，∴；

(2)證明：①由(1)知.

注意到，所以

∵；

②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，設(shè)，

則；

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，設(shè)，

則，

∴對(duì)一切的正整數(shù)n，都有；

(3)證明：由(1)知，

得

.

又，，∴，

∴當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，.