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        1. 已知函數(shù)f(x)=x+
          a
          x
          +b(x≠0),其中a,b∈R.
          (1)當(dāng)a=2時(shí),求函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間;
          (2)若曲線y=f(x)在點(diǎn)P(2,f(2))處的切線方程為y=3x+1,求函數(shù)f(x)的解析式;
          (3)若對(duì)于任意的a∈[
          1
          2
          ,2],不等式f(x)≤10在[
          1
          4
          ,1]上恒成立,求b的取值范圍.
          分析:(1)當(dāng)a=2時(shí),f(x)=x+
          2
          x
          +b(x≠0),f′(x)=1-
          2
          x2
          ,由此能求出函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間.
          (2)先根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知f'(2)=3,求出a的值,然后根據(jù)切點(diǎn)P(2,f(2))在直線y=3x+1上求出b,從而求出函數(shù)的解析式.
          (3)由函數(shù)f(x)=x+
          a
          x
          +b(x≠0),對(duì)于任意的a∈[
          1
          2
          ,2],不等式f(x)≤10在[
          1
          4
          ,1]上恒成立,知
          x+a
          x+b
          ≤10
          ,由a∈[
          1
          2
          ,2],x∈[
          1
          4
          ,1],知x+a>0.當(dāng)x+b<0時(shí),
          x+a
          x+b
          ≤10
          恒成立,由此能求出b的取值范圍.
          解答:解:(1)當(dāng)a=2時(shí),f(x)=x+
          2
          x
          +b(x≠0),
          ∴f′(x)=1-
          2
          x2
          ,
          由f′(x)=1-
          2
          x2
          ≤0,x≠0,得-
          2
          ≤x<0
          ,或0<x
          2

          解得函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間為{x|-
          2
          ≤x<0
          ,或0<x
          2
          }.
          (2)f′(x)=1-
          a
          x2
          ,由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得f'(2)=3,于是a=-8.
          由切點(diǎn)P(2,f(2))在直線y=3x+1上可得-2+b=7,解得b=9.
          所以函數(shù)f(x)的解析式為f(x)=x-
          8
          x
          +9.
          (3)∵函數(shù)f(x)=x+
          a
          x
          +b(x≠0),對(duì)于任意的a∈[
          1
          2
          ,2],不等式f(x)≤10在[
          1
          4
          ,1]上恒成立,
          x+a
          x+b
          ≤10
          ,①
          因?yàn)閍∈[
          1
          2
          ,2],x∈[
          1
          4
          ,1],
          所以,a>0,x>0,從而得到x+a>0.
          當(dāng)x+b<0時(shí),
          x+a
          x+b
          ≤10
          恒成立,
          ∴b<-x∈[-1,-1/4]恒成立,∴b<xmin=-1,即b<-1.②
          當(dāng)x+b>0時(shí),由①得:x+a≤10x+10b,10b≥a-9x  
          x≥
          1
          4
          x≤1
          a≥
          1
          2
          a≤1
          ,此時(shí)就變成了一個(gè)線性規(guī)劃問(wèn)題,把a(bǔ)當(dāng)作y,也就是a作為縱坐標(biāo),
           目標(biāo)函數(shù)為:z=y-9x,
          10b≥Z恒成立,也就是左邊的10b比右邊的最大值還要大.
          可行域?yàn)榫匦,最?yōu)解為A(
          1
          4
          ,1),C(1,
          1
          2
          ),
          ZA=1-
          9
          4
          =-
          5
          4

          ZC=1-
          9
          2
          =-
          7
          2
          ,
          ∴Zmax=-
          5
          4

          10b≥-
          5
          4
          ,
          b≥-
          1
          8
          ,③
          又因?yàn)閎>-x∈[-1,-
          1
          4
          ]恒成立,∴b>-
          1
          4
          ,④
          將③④取交集得:b>-
          1
          8

          綜上所述,b∈(-∞,-1)∪(-
          1
          8
          ,+∞).
          點(diǎn)評(píng):本題考查函數(shù)的減區(qū)間的求法,考查函數(shù)的解析式的求法,考查滿足條件的實(shí)數(shù)的取值范圍的求法,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<
          π
          2
          )的部分圖象如圖所示,則f(x)的解析式是( 。
          A、f(x)=2sin(πx+
          π
          6
          )(x∈R)
          B、f(x)=2sin(2πx+
          π
          6
          )(x∈R)
          C、f(x)=2sin(πx+
          π
          3
          )(x∈R)
          D、f(x)=2sin(2πx+
          π
          3
          )(x∈R)

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          (2012•深圳一模)已知函數(shù)f(x)=
          1
          3
          x3+bx2+cx+d
          ,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點(diǎn)處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
          (1)求f(x);
          (2)設(shè)g(x)=x
          f′(x)
           , m>0
          ,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
          (3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對(duì)一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          (2011•上海模擬)已知函數(shù)f(x)=(
          x
          a
          -1)2+(
          b
          x
          -1)2,x∈(0,+∞)
          ,其中0<a<b.
          (1)當(dāng)a=1,b=2時(shí),求f(x)的最小值;
          (2)若f(a)≥2m-1對(duì)任意0<a<b恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
          (3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時(shí),記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時(shí),記f(x)=f2(x).
          求證:f1(x)+f2(x)>
          4c2
          k(k+c)

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:上海模擬 題型:解答題

          已知函數(shù)f(x)=(
          x
          a
          -1)2+(
          b
          x
          -1)2,x∈(0,+∞)
          ,其中0<a<b.
          (1)當(dāng)a=1,b=2時(shí),求f(x)的最小值;
          (2)若f(a)≥2m-1對(duì)任意0<a<b恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
          (3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時(shí),記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時(shí),記f(x)=f2(x).
          求證:f1(x)+f2(x)>
          4c2
          k(k+c)

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:深圳一模 題型:解答題

          已知函數(shù)f(x)=
          1
          3
          x3+bx2+cx+d
          ,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點(diǎn)處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
          (1)求f(x);
          (2)設(shè)g(x)=x
          f′(x)
           , m>0
          ,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
          (3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對(duì)一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

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