Question

已知函數(shù)f(x)=

1

3

x3+ax2-bx+1(x∈R，a，b為實(shí)數(shù))
（1）若函數(shù)f（x）有極值，且在x=1處的切線與直線x-y+1=0平行，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若y=f（x）在區(qū)間[-1，2]上是單調(diào)減函數(shù)，求a+b的最小值．

Answer 1

分析：（1）求出導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)等于0對(duì)應(yīng)的方程判別式大于0；令導(dǎo)函數(shù)在x=1處的值為1，列出不等式組，求出a的范圍．
（2）令f（x）的導(dǎo)函數(shù)小于等于0在區(qū)間[-1，2]上恒成立，結(jié)合二次函數(shù)的圖象得到導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)值小于等于0即可，得到關(guān)于a，b的不等式組，求出a+b的最小值．

解答：解：（1）∵f(x)=

1

3

x3+ax2-bx+1(x∈R，a，b為實(shí)數(shù))
∴f′（x）=x²+2ax-bx
∵f′（1）=1+2a-b=1即b=2a①
∵函數(shù)f（x）有極值
故方程x²+2ax-bx=0有兩個(gè)不等實(shí)根
∴△=4a²+4b＞0即a²+b＞0②
由①②得a²+2a＞0解得a＜-2或a＞0
故a的取值范圍為（-∞，-2）∪（0，+∞）
（2）∵y=f（x）在區(qū)間[-1，2]上是單調(diào)減函數(shù)
∴f′（x）=x²+2ax-bx≤0在區(qū)間[-1，2]上恒成立
∴f′（-1）≤0且f′（2）≤0即

1-2a-b≤0 4+4a-b≤0

所以a+b的最小值為

3

2

點(diǎn)評(píng)：本題考查求曲線的切線問(wèn)題常利用導(dǎo)數(shù)在切點(diǎn)處的值為切線的斜率；解決函數(shù)的單調(diào)性已知求參數(shù)的范圍問(wèn)題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)大于等于0或小于等于0恒成立．