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        1. 已知復(fù)數(shù)z滿足|2z+
          1
          z
          |=1,則z的幅角主值范圍是
          [
          π
          2
          -
          1
          2
          arccos
          3
          4
          ,
          π
          2
          +
          1
          2
          arccos
          3
          4
          ]∪[
          2
          -
          1
          2
          arccos
          3
          4
          2
          +
          1
          2
          arccos
          3
          4
          ]
          [
          π
          2
          -
          1
          2
          arccos
          3
          4
          ,
          π
          2
          +
          1
          2
          arccos
          3
          4
          ]∪[
          2
          -
          1
          2
          arccos
          3
          4
          ,
          2
          +
          1
          2
          arccos
          3
          4
          ]
          分析:利用復(fù)數(shù)的三角形式可轉(zhuǎn)化為關(guān)于r的一元二次方程有正根,從而可求得z的幅角主值范圍.
          解答:解:設(shè)z=r(cosθ+isinθ),則|2z+
          1
          z
          |=1?4r4+(4cos2θ-1)r2+1=0,
          這個(gè)等式成立等價(jià)于關(guān)于x的二次方程4x2+(4cos2θ-1)x+1=0有正根.
          △=(4cos2θ-1)2-16≥0,
          ∴16cos22θ-8cos2θ-15≥0,
          ∴cos2θ≤-
          3
          4
          或cos2θ≥
          5
          4
          (舍去).
          又x1x2=
          1
          4
          >0,
          故必須x1+x2=-
          4cos2θ-1
          4
          >0.
          ∴cos2θ<
          1
          4

          ∴cos2θ≤-
          3
          4
          ,
          ∴(2k+1)π-arccos
          3
          4
          ≤2θ≤(2k+1)π+arccos
          3
          4

          ∴kπ+
          π
          2
          -
          1
          2
          arccos
          3
          4
          ≤θ≤kπ+
          π
          2
          +
          1
          2
          arccos
          3
          4
          ,(k=0,1).
          故答案為:[
          π
          2
          -
          1
          2
          arccos
          3
          4
          ,
          π
          2
          +
          1
          2
          arccos
          3
          4
          ]∪[
          2
          -
          1
          2
          arccos
          3
          4
          2
          +
          1
          2
          arccos
          3
          4
          ]
          點(diǎn)評(píng):本題考查復(fù)數(shù)的基本概念,著重考查復(fù)數(shù)三角形式的應(yīng)用,考查一元二次方程的根,考查轉(zhuǎn)化思想與運(yùn)算能力.
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          1
          z
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