Question

已知復(fù)數(shù)z滿足|2z+|=1，則z的幅角主值范圍是________．

Answer 1

[-arccos，+arccos]∪[-arccos，+arccos]
分析：利用復(fù)數(shù)的三角形式可轉(zhuǎn)化為關(guān)于r的一元二次方程有正根，從而可求得z的幅角主值范圍．
解答：設(shè)z=r（cosθ+isinθ），則|2z+|=1?4r⁴+（4cos2θ-1）r²+1=0，
這個(gè)等式成立等價(jià)于關(guān)于x的二次方程4x²+（4cos2θ-1）x+1=0有正根．
△=（4cos2θ-1）²-16≥0，
∴16cos²2θ-8cos2θ-15≥0，
∴cos2θ≤-或cos2θ≥（舍去）．
又x₁x₂=＞0，
故必須x₁+x₂=-＞0．
∴cos2θ＜．
∴cos2θ≤-，
∴（2k+1）π-arccos≤2θ≤（2k+1）π+arccos．
∴kπ+-arccos≤θ≤kπ++arccos，（k=0，1）．
故答案為：[-arccos，+arccos]∪[-arccos，+arccos]
點(diǎn)評：本題考查復(fù)數(shù)的基本概念，著重考查復(fù)數(shù)三角形式的應(yīng)用，考查一元二次方程的根，考查轉(zhuǎn)化思想與運(yùn)算能力．