Question

若集合A={(x，y)|y=1+

4-x2

}，B={（x，y）|y=k（x-2）+4}，當(dāng)集合C=A∩B中有兩個元素時，實(shí)數(shù)k的取值范圍是（　�。�

• A．[

  5

  12

  ，+∞)
• B．(

  5

  12

  ，

  3

  4

  ]
• C．(

  5

  12

  ，

  5

  4

  ]
• D．[

  1

  3

  ，

  3

  4

  ]

Answer 1

分析：根據(jù)題意，集合A對應(yīng)的圖形是以C（0，1）為圓心、半徑為2的圓的上半圓；集合B對應(yīng)的圖形是經(jīng)過定點(diǎn)P（2，4）的一條直線．A∩B中有兩個元素，說明直線與圓有兩個公共點(diǎn)，由此利用點(diǎn)到直線的距離公式和斜率公式加以計(jì)算，并觀察直線傾斜角的變化，可得本題答案．

解答：解：由y=1+

4-x2

，平方化簡得x²+（y-1）²=4（y≥1），
∴集合A表示以C（0，1）為圓心，半徑為2的圓的上半圓．
∵y=k（x-2）+4的圖象是經(jīng)過定點(diǎn)P（2，4）的一條直線，
∴當(dāng)直線與半圓有兩個公共點(diǎn)時，集合C=A∩B中有兩個元素．
由直線y=k（x-2）+4與半圓相切時，圓心到直線的距離等于半徑，
得

|-2k+3|

k2+1

=2，解之得k=

5

12

（舍負(fù)）
又∵直線經(jīng)過半圓的左端點(diǎn)A（-2，1）時，它們有兩個交點(diǎn)，
此時k=

1-4

-2-2

=

3

4

，
∴當(dāng)直線夾在PA到PB之間（可與PA重合，不與PB重合）時，
直線y=k（x-2）+4與半圓有兩個公共點(diǎn)，可得k∈(

5

12

，

3

4

]．
故選：B

點(diǎn)評：本題給出兩個集合的交集有兩個元素，求參數(shù)k的范圍，著重考查了直線的方程、圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系和點(diǎn)到直線的距離公式等知識，屬于中檔題．