Question

橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

3

2

，長軸長為12，直線y=kx-4與橢圓交于A，B，弦AB的長為

10

，求此直線的斜率．

Answer 1

分析：根據(jù)長軸長及離心率可求出橢圓方程，根據(jù)弦長公式可用k表示出弦長，令其為

10

，解出即可，注意檢驗．

解答：解：由長軸長為12，得a=6，由離心率為

3

2

，得

c

6

=

3

2

，解得c=3

3

，所以b²=a²-c²=36-27=9，
所以橢圓方程為：

x2

36

+

y2

9

=1，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₁，y₁），由

y=kx-4 x2 36 + y2 9 =1

，消掉y得（1+4k²）x²-32kx+28=0，則x1+x2=

32k

1+4k2

，x1x2=

28

1+4k2

，
△=（32k）²-4×28（1+4k²）=16（36k²-7），
|AB|=

1+k2

|x1-x2|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

•

( 32k 1+4k2 )2-4× 28 1+4k2

=

(1+k2)(36k2-7)

1+4k2

=

10

．
解得k=±

1

2

，經(jīng)驗證△＞0成立，
故直線斜率為：k=±

1

2

．

點評：本題考查橢圓方程的求解及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，考查弦長公式，考查學生的運算能力，本題屬中檔題．