Question

設(shè)a₁，a₂，…，a_n是各項(xiàng)不為零的n（n≥4）項(xiàng)等差數(shù)列，且公差d≠0．若將此數(shù)列刪去某一項(xiàng)后，得到的數(shù)列（按原來順序）是等比數(shù)列，則所有數(shù)對(n，

a1

d

)所組成的集合為

 

．

Answer 1

分析：設(shè)出數(shù)列的公差d，列舉出數(shù)列的各項(xiàng)，討論從第一項(xiàng)開始刪去，由得到的數(shù)列為等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的性質(zhì)，列出關(guān)于d與首項(xiàng)的方程，求出方程的解即可得到d的值，根據(jù)d不為0，得到滿足題意的d的值，即可求出滿足題意的所有數(shù)對，組成集合的形式即可．

解答：解：設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，則各項(xiàng)分別為：a₁，a₁+d，a₁+2d，…，a₁+（n-1）d，且a₁≠0，d≠0，
假設(shè)去掉第一項(xiàng)，則有（a₁+d）（a₁+3d）=（a₁+2d）²，解得d=0，不合題意；
去掉第二項(xiàng)，有a₁（a₁+3d）=（a₁+2d）²，化簡得：4d²+a₁d=0即d（4d+a₁）=0，解得d=-

a1

4

，
因?yàn)閿?shù)列的各項(xiàng)不為零，所以數(shù)列不會出現(xiàn)第五項(xiàng)（a₁+4d=0），所以數(shù)對(n，

a1

d

)=（4，-4）；
去掉第三項(xiàng)，有a₁（a₁+3d）=（a₁+d）²，化簡得：d²-a₁d=0即d（d-a₁）=0，解得d=a₁
則此數(shù)列為：a，2a，3a，4a，…此數(shù)列仍然不會出現(xiàn)第五項(xiàng)，
因?yàn)槌霈F(xiàn)第五項(xiàng)，數(shù)列不為等比數(shù)列，所以數(shù)對(n，

a1

d

)=（4，1）；
去掉第四項(xiàng)時(shí)，有a₁（a₁+2d）=（a₁+d）²，化簡得：d=0，不合題意；
當(dāng)去掉第五項(xiàng)或更遠(yuǎn)的項(xiàng)時(shí)，必然出現(xiàn)上述去掉第一項(xiàng)和第四項(xiàng)時(shí)的情況，即d=0，不合題意．
所以滿足題意的數(shù)對有兩個(gè)，組成的集合為{（4，-4），（4，1）}．
故答案為：{（4，-4），（4，1）}

點(diǎn)評：此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用等比數(shù)列的性質(zhì)化簡求值，是一道中檔題．學(xué)生做題時(shí)應(yīng)時(shí)刻注意公差d不為0和各項(xiàng)不為0的條件．