Question

半圓O的直徑為2，A為直徑延長線上的一點，OA＝2，B為半圓上任意一點，以AB為一邊作等邊三角形ABC.則四邊形OACB的面積最大值是         。

Answer 1

2＋

設∠AOB＝α，在△AOB中，由余弦定理得
AB²＝1²＋2²－2×1×2cosα＝5－4cosα，于是，四邊形OACB的面積為
S＝S_△AOB＋S_△ABC＝OA·OBsinα＋AB²
＝×2×1×sinα＋(5－4cosα)
＝sinα－cosα＋
＝2sin(α－)＋
∵0＜α＜π，
∴當α－＝，α＝π，即∠AOB＝時，四邊形OACB面積最大為2＋.