Question

（2008•上海模擬）已知向量

m

∥

n

，其中

m

=(

1

x3+c-1

，-1)，

n

=(-1，y)（x，y，c∈R），把其中x，y所滿足的關(guān)系式記為y=f（x），若函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．
（Ⅰ） 求函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（Ⅱ） 已知數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)都是正數(shù)，S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，且對于任意n∈N^*，都有“{f（a_n）}的前n項(xiàng)和等于S_n²，”求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)式；
（Ⅲ） 若數(shù)列{b_n}滿足bn=4n-a•2an+1(a∈R)，求數(shù)列{b_n}的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)向量平行得出函數(shù)y=f（x），再利用函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，可求c=1，從而可得函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（Ⅱ） 根據(jù)條件對于任意n∈N^*，都有“{f（a_n）}的前n項(xiàng)和等于S_n²，寫出兩等式，兩式相減可得∴{a_n}為公差為1的等差數(shù)列，從而可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）根據(jù)a_n=n（n∈N^*），可得b_n=4ⁿ-a•2ⁿ⁺¹=（2ⁿ-a）²-a²，由于2ⁿ≥2，故需對a進(jìn)行分類討論．

解答：解：（Ⅰ）∵

m

∥

n

∴

1

x3+c-1

•y-1=0⇒y=x3+c-1(x3+c-1≠0)，
因?yàn)楹瘮?shù)f（x）為奇函數(shù)．所以c=1，⇒f（x）=x³（x≠0）…（4分）
（Ⅱ）由題意可知，f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_n）=S_n²⇒a₁³+a₂³+a₃³+…+a_n³=S_n²…..①
n≥2時(shí)∴a₁³+a₂³+a₃³+…+a_n-1³=S_n-1²…②
由①-②可得：a_n³=S_n²-S_n-1²=a_n（S_n+S_n-1），
∵{a_n}為正數(shù)數(shù)列∴a_n²=S_n+S_n-1…③…（2分）∴a_n+1²=S_n+1+S_n…④
由④-③可得：a_n+1²-a_n²=a_n+1+a_n∵a_n+1+a_n＞0，∴a_n+1-a_n=1，…（2分）
且由①可得a₁³=a₁²，a₁＞0⇒a₁=1，a₁³+a₂³=S₂²，a₂＞0⇒a₂=2，∴a₂-a₁=1∴{a_n}為公差為1的等差數(shù)列，∴a_n=n（n∈N^*）…（2分）
（Ⅲ）∵a_n=n（n∈N^*），∴b_n=4ⁿ-a•2ⁿ⁺¹=（2ⁿ-a）²-a²（n∈N^*）…（2分）
令2ⁿ=t（t≥2），∴b_n=（t-a）²-a²（t≥2）
（1）當(dāng)a≤2時(shí)，數(shù)列{b_n}的最小值為：當(dāng)n=1時(shí)，b₁=4-4a．…（2分）
（2）當(dāng)a＞2時(shí)
①若a=2^k+1（k∈N^*）時(shí)，數(shù)列{b_n}的最小值為當(dāng)n=k+1時(shí)，b_k+1=-a²．…（1分）
②若a=

2k+2k+1

2

(k∈N*)時(shí)，數(shù)列{b_n}的最小值為，當(dāng)n=k或n=k+1時(shí)，b_k=b_k+1=（2^k-a）²-a²．…（1分）
③若2k＜a＜

2k+2k+1

2

(k∈N*)時(shí)，數(shù)列{b_n}的最小值為，當(dāng)n=k時(shí)，b_k=（2^k-a）²-a²…（1分）
④若

2k+2k+1

2

＜a＜2k+1(k∈N*)時(shí)，數(shù)列{b_n}的最小值為，當(dāng)n=k+1時(shí)，b_k+1=（2^k+1-a）²-a²．…（1分）

點(diǎn)評：本題的考點(diǎn)是數(shù)列與向量的綜合，主要考查向量共線條件的運(yùn)用，考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求解，考查了函數(shù)的最值，關(guān)鍵是正確分類．