Question

（2011•寶坻區(qū)一模）設(shè)函數(shù)f（x）=sinx+cos（x+

π

6

），x∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期及在區(qū)間[0，

π

2

]上的值域；
（2）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若f（A）=

3

2

，且a=

3

2

b，求角B的值．

Answer 1

分析：（1）將函數(shù)解析式第二項(xiàng)利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡，合并整理后再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，找出ω的值，代入周期公式即可求出f（x）的最小正周期，再由x的范圍，得出這個(gè)角的范圍，利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)得出正弦函數(shù)的值域，即可得到f（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上的值域；
（2）由（1）得出的f（x）解析式及f（A）=

3

2

，得出sin（A+

π

3

）的值，利用特殊角的三角函數(shù)值求出A的度數(shù)，確定出sinA的值，再利用正弦定理利用關(guān)系式，將已知的等式a=

3

2

b及sinA的值代入，求出sinB的值，由B為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出B的度數(shù)．

解答：解：（1）f（x）=sinx+cos（x+

π

6

）
=sinx+cosxcos

π

6

-sinxsin

π

6

=

1

2

sinx+

3

2

cosx
=sin（x+

π

3

），
∵ω=1，∴T=2π，
∵x∈[0，

π

2

]，∴x+

π

3

∈[

π

3

，

5π

6

]，
則f（x）的值域?yàn)閇

1

2

，1]；
（2）由（1）可知，f（A）=sin（A+

π

3

）=

3

2

，
∵0＜A＜π，∴

π

3

＜A+

π

3

＜

4π

3

，
∴A+

π

3

=

2π

3

，即A=

π

3

，
∵a=

3

2

b，且

a

sinA

=

b

sinB

，
∴

3 2 b

3 2

=

b

sinB

，即sinB=1，
∵0＜B＜π，
∴B=

π

2

．

點(diǎn)評：此題考查了正弦定理，三角函數(shù)的周期性及其求法，以及三角函數(shù)的恒等變形，涉及的知識有：兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的定義域與值域，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．