Question

已知數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，公差d≠0，其中ak1，ak2，…，akn恰為等比數(shù)列，若k₁=2，k₂=5，k₃=11，
（1）求等比數(shù)列{akn}的公比q
（2）試求數(shù)列{k_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析：（1）由題意可得，

a

2 5

=a2•a11，即(a1+4d)2=(a1+d)(a1+10d)，解方程 可求q
（2）由題意可得，akn=a1+(kn-1)d=(kn+1)d，akn=a2•2n-1=3d•2n-1可求k_n，利用分組求和，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式可求

解答：解：（1）由題意可得，

a

2 5

=a2•a11
即(a1+4d)2=(a1+d)(a1+10d)
解得a₁=2d或 d=0（舍去）（4分）
∴公比q=

a5

a2

=

6d

3d

=2（6分）
（2）由等差數(shù)列的通項(xiàng)可得，akn=a1+(kn-1)d=(kn+1)d…①
又∵akn=a2•2n-1=3d•2n-1…②
由①②得kn=3•2n-1-1，n∈N^*（10分）
∴Sn=(3•1-1)+(3•21-1)+…+(3•2n-1-1)=3(1+2+…+2n-1)-n
=3（2ⁿ-1）-n=3•2ⁿ-n-3（14分）

點(diǎn)評：本題主要考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的基本運(yùn)算，及等比數(shù)列的求和公式的應(yīng)用，屬于數(shù)列知識的綜合應(yīng)用