Question

如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，點(diǎn)E在棱AD上移動(dòng)．求AE等于何值時(shí)，二面角D₁ECD的大小為

π

4

？

Answer 1

分析：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD₁所在的直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AE=x，設(shè)平面D₁EC的法向量

n

，通過(guò)

n • D1C =0 n • CE =0

求出

n

，然后cos

π

4

=

| n • DD1 |

| n || DD1 |

=

2

2

求出二面角的大小．

解答：解：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD₁所在的直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)AE=x，則A₁（1，0，1），D₁（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0），C（0，2，0）．
設(shè)平面D₁EC的法向量

n

=（a，b，c），
∴

CE

=（1，x-2，0），

D1C

=（0，2，-1），

DD1

=（0，0，1）．
由

n • D1C =0 n • CE =0

 ?

2b-c=0 a+b(x-2)=0

．
令b=1，
∴c=2，a=2-x．∴

n

=（2-x，1，2）．
依題意，cos

π

4

=

| n • DD1 |

| n || DD1 |

=

2

2

?

2

(x-2)2+5

=

2

2

．
∴x1=2+

3

（不合題意，舍去），x2=2-

3

．
∴AE=2-

3

時(shí)，二面角D₁-EC-D的大小為

π

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查二倍角的應(yīng)用，利用空間直角坐標(biāo)系，求解二面角時(shí)，注意法向量的求法是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力．