Question

已知點(diǎn)C(1，0)，點(diǎn)A、B是⊙O：x²＋y²＝9上任意兩個(gè)不同的點(diǎn)，且滿(mǎn)足·＝0，設(shè)P為弦AB的中點(diǎn)．

(1)求點(diǎn)P的軌跡T的方程；

(2)試探究在軌跡T上是否存在這樣的點(diǎn)：它到直線(xiàn)x＝－1的距離恰好等于到點(diǎn)C的距離？若存在，求出跡樣的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)法一：連結(jié)CP，由，知AC⊥BC 　　∴|CP|＝|AP|＝|BP|＝，由垂徑定理知 　　即　4分 　　設(shè)點(diǎn)P(x，y)，有 　　化簡(jiǎn)，得到　8分 　　法二：設(shè)A，B，P， 　　根據(jù)題意，知，， 　　∴ 　　故　①　4分 　　又，有 　　∴，故 　　代入①式，得到 　　化簡(jiǎn)，得到　8分 　　(2)根據(jù)拋物線(xiàn)的定義，到直線(xiàn)的距離等于到點(diǎn)C(1，0)的距離的點(diǎn)都在拋物線(xiàn) 　　上，其中，∴，故拋物線(xiàn)方程為　10分 　　由方程組得，解得　12分 　　由于，故取，此時(shí) 　　故滿(mǎn)足條件的點(diǎn)存在的，其坐標(biāo)為和　14分