Question

（本小題滿分12分）
已知在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為4的正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E、F、G分別是PA、PB、BC的中點(diǎn)．
（I）求證：EF平面PAD；
（II）求平面EFG與平面ABCD所成銳二面角的大小；
（III）若M為線段AB上靠近A的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，問當(dāng)AM長度等于多少時(shí)，直線MF與平面EFG所成角的正弦值等于？

Answer 1

（I）略
（II）平面EFG與平面ABCD所成銳二面角的余弦值是：
，銳二面角的大小是
（III）當(dāng)時(shí)， MF與平面EFG所成角正弦值等于

解：方法1：（I）證明：∵平面PAD⊥平面ABCD，，


∴平面PAD，                                             …………（2分）
∵E、F為PA、PB的中點(diǎn)，
∴EF//AB，∴EF平面PAD；                                   …………（4分）
（II）解：過P作AD的垂線，垂足為O，
∵，則PO平面ABCD．
連OG，以OG，OD，OP為x、y、z軸建立空間坐標(biāo)系，
…………（6分）
∵PA=PD，∴，
得，
，故，
設(shè)平面EFG的一個(gè)法向量為則，
，                                         …………（7分）
平面ABCD的一個(gè)法向量為
平面EFG與平面ABCD所成銳二面角的余弦值是：
，銳二面角的大小是；                …………（8分）
（III）解：設(shè)，M（x，，0），則，
設(shè)MF與平面EFG所成角為，
則，
或，∵M靠近A，∴                              …………（10分）
∴當(dāng)時(shí)， MF與平面EFG所成角正弦值等于．         …………（12分）
方法2：（I）證明：過P作P OAD于O，∵， 則PO平面ABCD，連OG，以OG，OD，OP為x、y、z軸建立空間坐標(biāo)系，                                                         …………（2分）
∵PA=PD，∴，
得，
，
故，
∵，
∴EF平面PAD；                                              …………（4分）
（II）解：，
設(shè)平面EFG的一個(gè)法向量為 
則， ，      …………（7分）
平面ABCD的一個(gè)法向量為……【以下同方法1】
方法3：（I）證明：∵平面PAD⊥平面ABCD，，
∴平面PAD，                …………（2分）
∵E、F為PA、PB的中點(diǎn)，
∴EF//AB，∴EF平面PAD；       …………（4分）
（II）解：∵ EF//HG，AB//HG，∴HG是所二面角的棱，
…………（6分）
∵HG // EF，∴平面PAD， ∴DHHG，EHHG，
∴EHA是銳二面角的平面角，等于；                       …………（8分）
（III）解：過M作MK⊥平面EFG于K，連結(jié)KF，
則KFM即為MF與平面EFG所成角，                          …………（10分）
因?yàn)?i>AB//EF，故AB/平面EFG，故AB/的點(diǎn)M到平面EFG的距離等于A到平面EFG的距離，∵平面PAD，∴平面EFGH平面PBD于EH，
∴A到平面EFG的距離即三角形EHA的高,等于，即MK，
∴，，在直角梯形中，，
∴或∵M靠近A，∴                     …………（11分）
∴當(dāng)時(shí)， MF與平面EFG所成角正弦值等于．     …………（12分）