Question

已知函數(shù)f（x）=sinx+cosx，f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)
（1）若f（x）=2f′（x），求

1+sin2x

cos2x-sinxcosx

的值；
（2）求函數(shù)F（x）=f（x）f'（x）+f²（x）的最大值和最小正周期．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=sinx+cosx=2f′（x），可求得tanx，將

1+sin2x

cos2x-sinxcosx

轉(zhuǎn)換為

2tan2x+1

1-tanx

即可求得答案；
（2）利用導(dǎo)數(shù)公式與三角函數(shù)間的關(guān)系式將F（x）化為F（x）=1+

2

sin（2x+

π

4

），利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求其最大值和最小正周期．

解答：解：（1）∵f（x）=sinx+cosx=f′（x），
∴sinx+cosx=2cosx-2sinx，
∴cosx=3sinx，
∴tanx=

1

3

，
∴

1+sin2x

cos2x-sinxcosx

=

2sin2x+cos2x

cos2x-sinxcosx

=

2tan2x+1

1-tanx

=

11 9

2 3

=

11

6

．
（2）∵f′（x）=cosx-sinx，
∴F（x）=f（x）f′（x）+f²（x）
=cos²x-sin²x+1+2sinxcosx
=1+sin2x+cos2x
=1+

2

sin（2x+

π

4

）．
∴當2x+

π

4

=2kπ+

π

2

，即x=kπ+

π

8

（k∈Z）時，F(xiàn)（x）_max=1+

2

，最小正周期T=

2π

2

=π．

點評：本題考查兩角和與差的正弦函數(shù)，考查三角函數(shù)間的關(guān)系式及正弦函數(shù)的性質(zhì)，求得F（x）=1+

2

sin（2x+

π

4

）是關(guān)鍵，也是難點，屬于中檔題．