Question

（2012•杭州二模）設(shè)函數(shù)f（x）=lnx，g(x)=

1

2

x2．
（Ⅰ）設(shè)函數(shù)F(x)=f(x)-

1

4

g(x)，求F（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)G(x)=

(x-1)f(x)

g(x)

，當(dāng)x∈（1，t]時(shí)，都有tG（x）-xG（t）≤G（x）-G（t）成立，求實(shí)數(shù)t的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）函數(shù)F(x)=f(x)-

1

4

g(x)=lnx-

1

8

x2，定義域?yàn)椋?，+∞），求導(dǎo)函數(shù)F′（x）=

4-x2

4x

，令F′（x）＞0，可得F（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)G(x)=

(x-1)f(x)

g(x)

，則tG（x）-xG（t）≤G（x）-G（t）等價(jià)于

G(x)

x-1

≤

G(t)

t-1

，即

f(x)

g(x)

≤

f(t)

g(t)

，設(shè)h(x)=

f(x)

g(x)

，則問題等價(jià)于h（x）≤h（t）在（1，t]上恒成立，h（t）為h（x）的最大值，由此可確定實(shí)數(shù)t的最大值．

解答：解：（Ⅰ）函數(shù)F(x)=f(x)-

1

4

g(x)=lnx-

1

8

x2，定義域?yàn)椋?，+∞）
求導(dǎo)函數(shù)F′（x）=

4-x2

4x

，令F′（x）＞0，結(jié)合x＞0，可得0＜x＜2
∴F（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，2）；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)G(x)=

(x-1)f(x)

g(x)

，則tG（x）-xG（t）≤G（x）-G（t）等價(jià)于

G(x)

x-1

≤

G(t)

t-1

∴

f(x)

g(x)

≤

f(t)

g(t)

設(shè)h(x)=

f(x)

g(x)

，則問題等價(jià)于h（x）≤h（t）在（1，t]上恒成立，h（t）為h（x）的最大值
而h(x)=

f(x)

g(x)

=

2lnx

x2

，
∴h′(x)=

2(1-2lnx)

x3

(x＞0)
∴h（x）在區(qū)間（

e

，+∞）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（1，

e

）上單調(diào)遞增
∴t≤

e

∴實(shí)數(shù)t的最大值為

e

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最值，考查恒成立問題，屬于中檔題．