Question

已知向量

a

=(x2-3，1)，

b

=(x，-y)，（其中實(shí)數(shù)y和x不同時(shí)為零），當(dāng)|x|＜2時(shí)，有

a

⊥

b

，當(dāng)|x|≥2時(shí)，

a

∥

b

．
（1）求函數(shù)式y(tǒng)=f（x）；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（3）若對(duì)?x∈（-∞，-2]∪[2，+∞），都有mx²+x-3m≥0，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)楫?dāng)|x|＜2時(shí)，

a

⊥

b

得

a

•

b

=0得到y(tǒng)與x的關(guān)系式；當(dāng)|x|≥2時(shí)，

a

∥

b

時(shí)，得到

-y

x

=

1

x2-3

，聯(lián)立得到f（x）為分段函數(shù)；
（2）要求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間即分區(qū)間令y'＜0求出x的范圍即可；
（3）根據(jù)mx²+x-3m≥0解出m≥

x

3-x2

，分區(qū)間討論x的范圍得到f（x）的最大值，讓m大于等于最大值即可求出m的范圍．

解答：解：（1）當(dāng)|x|＜2時(shí)，由

a

⊥

b

得

a

•

b

=(x2-3)x-y=0，y=x³-3x；（|x|＜2且x≠0）
當(dāng)|x|≥2時(shí)，由

a

∥

b

．得y=-

x

x2-3

∴y=f(x)=

x3-3x，(-2＜x＜2且x≠0) x 3-x2 ．(x≥2或x≤-2)

（2）當(dāng)|x|＜2且x≠0時(shí)，由y'=3x²-3＜0，
解得x∈（-1，0）∪（0，1），
當(dāng)|x|≥2時(shí)，y′=

(3-x2)-x(-2x)

(3-x2)2

=

3+x2

(3-x2)2

＞0
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（-1，1）；
（3）對(duì)?x∈（-∞，-2]∪[2，+∞），都有mx²+x-3m≥0即m（x²-3）≥-x，
也就是m≥

x

3-x2

對(duì)?x∈（-∞，-2]∪[2，+∞）恒成立，
由（2）知當(dāng)|x|≥2時(shí)，f′(x)=

(3-x2)-x(-2x)

(3-x2)2

=

3+x2

(3-x2)2

＞0
∴函數(shù)f（x）在（-∞，-2]和[2，+∞）都單調(diào)遞增
又f(-2)=

-2

3-4

=2，f(2)=

2

3-4

=-2
當(dāng)x≤-2時(shí)f(x)=

x

3-x2

＞0，
∴當(dāng)x∈（-∞，-2]時(shí)，0＜f（x）≤2同理可得，當(dāng)x≥2時(shí)，有-2≤f（x）＜0，
綜上所述得，對(duì)x∈（-∞，-2]∪[2，+∞），f（x）取得最大值2；
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為m≥2．

點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的能力，學(xué)會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)向量的垂直關(guān)系，理解平行向量及共線向量滿足的條件，熟悉分段函數(shù)的解析式，理解函數(shù)恒成立時(shí)所取的條件．