Question

如圖，△OBC的在個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為（0，0）、（1，0）、（0，2），設(shè)P為線段BC的中點(diǎn)，P為線段CO的中點(diǎn)，P₃為線段OP₁的中點(diǎn)，對于每一個(gè)正整數(shù)n，P_n+3為線段P_nP_n+1的中點(diǎn)，令P_n的坐標(biāo)為（x_n，y_n），
（Ⅰ）求a₁，a₂，a₃及a_n；
（Ⅱ）證明；
（Ⅲ）若記b_n=y_4n+4-y_4n，n∈N^*，證明{b_n}是等比數(shù)列．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題意可知，由此可推導(dǎo)出a_n=a₁=2，n∈N^*．
（Ⅱ）將等式兩邊除以2，得，由此可知
（Ⅲ）由=和，知{b_n}是公比為的等比數(shù)列．
解答：解：（Ⅰ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023214248552781364/SYS201310232142485527813021_DA/8.png">，
所以a₁=a₂=a₃=2，又由題意可知
∴
=
=，
∴{a_n}為常數(shù)列
∴a_n=a₁=2，n∈N^*．
（Ⅱ）將等式兩邊除以2，得，
又∵
∴
（Ⅲ）∵
=
=，
又∵，
∴{b_n}是公比為的等比數(shù)列．
點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和綜合運(yùn)用，解題時(shí)要注意公式的靈活運(yùn)用．