Question

【題目】（本小題滿分12分）已知函數(shù)f（x）＝x2－2（a＋1）x＋2alnx（a>0）．

（1）當a＝1時，求曲線y＝f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；

（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（3）若f（x）≤0在區(qū)間[1，e]上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）y＝－3；

（2）當0<a<1時，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，a）和（1，＋∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（a，1）；當a＝1時，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，＋∞）；當a>1時，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，1）和（a，＋∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（1，a）．

（3）a≥．

【解析】

試題分析：（1）求出a=1時的導數(shù)即此時切線的斜率，然后由點斜式求出切線方程即可；（2）對于含參數(shù)的單調(diào)性問題的關鍵時如何分類討論，常以導數(shù)等于零時的根與區(qū)間端點的位置關系作為分類的標準，然后分別求每一種情況時的單調(diào)性；（3）恒成立問題常轉(zhuǎn)化為最值計算問題，結合本題實際并由第二問可知，函數(shù)在區(qū)間[1，e]上只可能有極小值點，所以只需令區(qū)間端點對應的函數(shù)值小于等于零求解即可。

試題解析：（1）∵a＝1，∴f（x）＝x2－4x＋2lnx，

∴f ′（x）＝（x>0），f（1）＝－3，f ′（1）＝0，所以切線方程為y＝－3．

（2）f ′（x）＝（x>0），

令f ′（x）＝0得x1＝a，x2＝1，

當0<a<1時，在x∈（0，a）或x∈（1，＋∞）時，f ′（x）>0，在x∈（a，1）時，f ′（x）<0，∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，a）和（1，＋∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（a，1）；當a＝1時，f ′（x）＝≥0，∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，＋∞）；當a>1時，在x∈（0，1）或x∈（a，＋∞）時，f ′（x）>0，在x∈（1，a）時，f ′（x）<0，∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，1）和（a，＋∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（1，a）．

（3）由（2）可知，f（x）在區(qū)間[1，e]上只可能有極小值點，∴f（x）在區(qū)間[1，e]上的最大值必在區(qū)間端點取到，∴f（1）＝1－2（a＋1）≤0且f（e）＝e2－2（a＋1）e＋2a≤0，解得a≥．