Question

如圖，四棱錐中，底面為正方形，，
平面，為棱的中點(diǎn)．

（1）求證：平面平面；
（2）求二面角的余弦值．
（3）求點(diǎn)到平面的距離．

Answer 1

（1）要證明面面垂直，根據(jù)平面，所以以及得到平面．從而得到證明。
（2）  （3）

試題分析：（1）證明：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824015343259393.png" style="vertical-align:middle;" />平面，所以． 2分
因?yàn)樗倪呅?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824015343213535.png" style="vertical-align:middle;" />為正方形，所以，
所以平面．
所以平面平面．  4分 
（2）解：在平面內(nèi)過作直線．
因?yàn)槠矫?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824015343634446.png" style="vertical-align:middle;" />平面，所以平面．
由兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．
設(shè)，則．
所以 ，．
設(shè)平面的法向量為，則有
所以   取，得．
易知平面的法向量為．
所以 ．
由圖可知二面角的平面角是鈍角，      
所以二面角的余弦值為．   8分
（3）根據(jù)等體積法可知到平面的距離,則可以利用
 ,那么結(jié)合底面積和高可知          12分
點(diǎn)評(píng)：主要是考查了空間中的面面垂直的判定定理和二面角以及點(diǎn)到面的距離的求解，屬于中檔題。