Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若函數(shù)的圖象與x軸相切，求實(shí)數(shù)a的值；

（2）討論函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù).

Answer 1

【答案】（1）1（2）當(dāng)或時，函數(shù)有唯一零點(diǎn)；當(dāng)或時，函數(shù)有兩個零點(diǎn).

【解析】

（1）令，求切點(diǎn)，再根據(jù)求的值；

（2），當(dāng)時討論函數(shù)的單調(diào)性，求零點(diǎn)個數(shù)，當(dāng)時，判斷函數(shù)的單調(diào)性，可知函數(shù)的單調(diào)性，并得到函數(shù)的最大值，設(shè)，根據(jù)（1）的單調(diào)性，再討論函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù).

（1），令，則，

因?yàn)楹瘮?shù)的圖象與x軸相切，所以，

即，

令，則，

當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減；

當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，

所以有唯一解，即實(shí)數(shù)a的值為1.

（2），

①當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，函數(shù)有唯一零點(diǎn)；

②當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

，

由（1）的單調(diào)性知：

（�。┊�(dāng)時，，所以函數(shù)只有一個零點(diǎn)；

（ⅱ）當(dāng)時，，，

所以函數(shù)在上有一個零點(diǎn)，，

令，則，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，故

當(dāng)時，，所以，

所以函數(shù)在上有一個零點(diǎn)，

所以函數(shù)在上有兩個零點(diǎn)；

（ⅲ）當(dāng)時，，，

所以函數(shù)在上有一個零點(diǎn)，

當(dāng)時，，，

所以函數(shù)在上有一個零點(diǎn)，

所以函數(shù)在上有兩個零點(diǎn)，

綜上，當(dāng)或時，函數(shù)有唯一零點(diǎn)；

當(dāng)或時，函數(shù)有兩個零點(diǎn).