Question

已知定點(diǎn)A（1，0），B（-1，0），C（0，1），D（0，2），動(dòng)點(diǎn)P滿足：

AP

•

BP

=k|

PC

|2．
（1）求動(dòng)點(diǎn)P軌跡M的方程，并說(shuō)明方程表示的曲線類(lèi)型；
（2）當(dāng)k=2時(shí)：
①E是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，EK，EQ分別切曲線M于K，Q兩點(diǎn)，如果|KQ|=

4 5

5

，求線段KQ的垂直平分線方程；
②若E點(diǎn)在△ABC邊上運(yùn)動(dòng)，EK，EQ分別切曲線M于K，Q兩點(diǎn)，求四邊形DKEQ的面積的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，設(shè)出P的坐標(biāo)（x，y）；可得則

AP

、

BP

、

PC

的坐標(biāo)，代入

AP

•

BP

=k|

PC

|2中，可得（k-1）x²+（k-1）y²+k+1=0；分K=1與k≠1兩種情況討論，可得答案．
（2）①根據(jù)題意k=2，代入（1）的方程可得x²+（y-2）²=1，進(jìn)而|DN|=

5

5

，結(jié)合射影定理計(jì)算可得|DE|=

5

，在Rt△DOE中，由|OE|=1，得E的坐標(biāo)，又由ED⊥KQ且平分KQ，由直線的點(diǎn)斜式方程可得答案；
②由（1）可得線段BC、AC的方程，按E的在△ABC的三邊上不同位置，不同分3種情況討論；求出S_DKEQ的范圍，綜合可得答案．

解答：解：（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為P（x，y），
則

AP

=（x-1，y），

BP

=（x+1，y），

PC

=（x，1-y）；
因?yàn)?span id="tscor32" class="MathJye">

AP

•

BP

=k|

PC

|2，所以x²+y²-1=K[x²+（y-1）²]；
整理得：（k-1）x²+（k-1）y²+k+1=0；
若k=1，則方程為y=1，表示過(guò)點(diǎn)（0，1）且平行與x軸的直線，
若k≠1，則方程化為x²+（y-

k

k-1

）²=（

1

k-1

）²，表示以（0，

k

k-1

）為圓心，|

1

k-1

|為半徑的圓．
（2）①因?yàn)閗=2，所以方程為x²+（y-2）²=1，圓心為D，如圖，
由|KQ|=

4 5

5

可得|DN|=

5

5

，
由射影定理可得|DQ|2=|DN||DE，得|DE|=

5

，
在Rt△DOE中，|OE|=1，得E（1，0）（-1，0），
ED⊥KQ且平分KQ，所以DE的方程為2x+y-2=0或2x-y+1=0（0＜y＜1）；
②L_BC：x+y-1=0（0＜y＜1），L_AC：x-y+1=0（0＜y＜1），
當(dāng)E（a，b）在線段AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，
S_DKEQ=2S_△DKE=DK•KE=

a2+(b-2)2-1

=

2b2-6b+4

（0＜b＜1），
所以0＜S_DKEQ＜2，
同理，當(dāng)E（a，b）在線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，0＜S_DKEQ＜2
當(dāng)E（a，b）在線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，E（a，0）（-1≤a≤1），
S_DKEQ=2S_△DKE=DK•KE=

a2+3

（-1≤a≤1），
所以

3

≤S_DKEQ≤2，
綜上可得，0≤S_DKEQ≤2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓的方程的綜合運(yùn)用，是解析幾何中典型題目，有一定的難度；解題時(shí)，要注意不能遺漏對(duì)特殊情況的討論，如本題（1）中對(duì)k=1的討論．