Question

已知定點(diǎn)A（1，0）和定圓B：x²+y²+2x-15=0，動(dòng)圓P和定圓B相切并過A點(diǎn)，
（1）求動(dòng)圓P的圓心P的軌跡C的方程．
（2）設(shè)Q是軌跡C上任意一點(diǎn)，求∠AQB的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)動(dòng)圓P和定圓B相切并過A點(diǎn)，可知|PA|+|PB|=4＞2，所以點(diǎn)P的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓，故可求點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）設(shè)|QA|=m，|QB|=n，則m+n=4，則cos∠AQB=

m2+n2-4

2mn

=

(m+n)2-2mn-4

2mn

=

6

mn

-1≥

6

( m+n 2 )2

-1=

1

2

，當(dāng)且僅當(dāng)m=n時(shí)取“=”，根據(jù)∠AQB∈（0，π），可求∠AQB的最大值．

解答：解：（1）定圓B的圓心坐標(biāo)為（-1，0）
設(shè)P（x，y），則
∵動(dòng)圓P和定圓B相切并過A點(diǎn)
∴|PA|+|PB|=4＞2，
∴所以點(diǎn)P的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓
所以點(diǎn)P的軌跡方程是

x2

4

+

y2

3

=1
（2）設(shè)|QA|=m，|QB|=n，則m+n=4
∴cos∠AQB=

m2+n2-4

2mn

=

(m+n)2-2mn-4

2mn

=

6

mn

-1≥

6

( m+n 2 )2

-1=

1

2

當(dāng)且僅當(dāng)m=n時(shí)取“=”，
∵∠AQB∈（0，π），
∴∠AQB的最大值是

π

3

點(diǎn)評(píng)：本題考查的重點(diǎn)是點(diǎn)的軌跡方程，考查余弦定理與基本不等式的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是正確運(yùn)用橢圓的定義，靈活解題．