Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知C1： （θ為參數(shù)），將C1上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)分別伸長(zhǎng)為原來(lái)的 和2倍后得到曲線C2以平面直角坐標(biāo)系xOy的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，取相同的單位長(zhǎng)度建立極坐標(biāo)系，已知直線l：ρ（ cosθ+sinθ）=4
（1）試寫(xiě)出曲線C1的極坐標(biāo)方程與曲線C2的參數(shù)方程；
（2）在曲線C2上求一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到直線l的距離最小，并求此最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：把C1： （θ為參數(shù)），消去參數(shù)化為普通方程為 x2+y2=1，

故曲線C1：的極坐標(biāo)方程為ρ=1．

再根據(jù)函數(shù)圖象的伸縮變換規(guī)律可得曲線C2的普通方程為 + =1，即 + =1．

故曲線C2的極參數(shù)方程為 （θ為參數(shù)）

（2）解：直線l：ρ（ cosθ+sinθ）=4，即 x+y﹣4=0，設(shè)點(diǎn)P（ cosθ，2sinθ），

則點(diǎn)P到直線的距離為d= = ，

故當(dāng)sin（θ+ ）=1時(shí)，d取得最小值，此時(shí)，θ=2kπ+ ，k∈z，點(diǎn)P（1， ），

故曲線C2上有一點(diǎn)P（1， ）滿(mǎn)足到直線l的距離的最小值為 ﹣

【解析】（1）把C1消去參數(shù)化為普通方程為 x2+y2=1，再化為極坐標(biāo)方程．根據(jù)函數(shù)圖象的伸縮變換規(guī)律可得曲線C2的普通方程，再化為極參數(shù)方程．（2）先求得直線l的直角坐標(biāo)方程，設(shè)點(diǎn)P（ cosθ，2sinθ），求得點(diǎn)P到直線的距離為d= ，故當(dāng)sin（θ+ ）=1時(shí)，即θ=2kπ+ ，k∈z時(shí)，點(diǎn)P到直線l的距離的最小值，從而求得P的坐標(biāo)以及此最小值