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          已知橢圓
          x2
          2
          +y2=1，則橢圓內(nèi)接矩形面積的最大值為
          2
          		2
          2
          		2
          ．
          			
          


			
          

		
          
		
		
	
          
		
          
			
          
				
          
				
          分析：設(shè)橢圓內(nèi)接矩形為ABCD，如圖所示．設(shè)A（m，n），則矩形ABCD的面積S=4mn，利用基本不等式可得1=
          m2
          2
          +n2≥
          		2
          mn，由此即可算出當m=1且n=
          		2
          2
          時，矩形ABCD的面積的最大值為2
          		2
          ．
          解答：解：設(shè)內(nèi)接矩形為ABCD，A為橢圓第一象限部分的一點，如圖所示．
          設(shè)A（m，n），可得矩形ABCD的面積為S=4mn，
          ∵
          m2
          2
          +n2=1          ≥2
          m2
          2
          •n2
          =
          		2
          mn，
          當且僅當m=1、n=
          		2
          2
          時，等號成立
          ∴
          		2
          mn有最大值為1，相應(yīng)地mn有最大值為
          		2
          2
          ．
          因此當m=1、n=
          		2
          2
          時，矩形ABCD的面積為S=4mn的最大值為2
          		2
          ．
          故答案為：2
          		2
          點評：本題給出橢圓的內(nèi)接矩形，求其面積的最大值．著重考查了橢圓的標準方程與簡單幾何性質(zhì)、用基本不等式求最值等知識，屬于中檔題．
          				
          
							
          
			
          
			
          
			
			
          
		
          
	
          

		
          

		





			
          
		
          
		
				
          
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				相關(guān)習題
			
          
						
		
          
			
          
				科目：高中數(shù)學
				來源：
				題型：
			
          

						
          已知橢圓
          x22
          +y2=1          的右準線l與x軸相交于點E，過橢圓右焦點F的直線與橢圓相交于A、B兩點，點C在右準線l上，且BC∥x軸?求證直線AC經(jīng)過線段EF的中點．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：
				題型：
			
          

						
          精英家教網(wǎng)已知橢圓
          x22
          +y2=1          的左焦點為F，O為坐標原點．
          （I）求過點O、F，并且與橢圓的左準線l相切的圓的方程；
          （II）設(shè)過點F的直線交橢圓于A、B兩點，并且線段AB的中點在直線x+y=0上，求直線AB的方程．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：
				題型：
			
          

						
          已知橢圓
          x2
          2
          +y2=1          的左焦點為F，O為坐標原點．過點F的直線l交橢圓于A、B兩點．
          （1）若直線l的傾斜角α=
          π
          4
          ，求|AB|；
          （2）求弦AB的中點M的軌跡方程；
          （3）設(shè)過點F且不與坐標軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點，
          線段AB的垂直平分線與x軸交于點G，求點G橫坐標的取值范圍．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：
				題型：
			
          

						
          已知橢圓
          x22
          +y2=1的左、右焦點為F1、F2，上頂點為A，直線AF1交橢圓于B．如圖所示沿x軸折起，使得平面AF1F2⊥平面BF1F2．點O為坐標原點．
          （ I ） 求三棱錐A-F1F2B的體積；
          （Ⅱ）圖2中線段BF2上是否存在點M，使得AM⊥OB，若存在，請在圖1中指出點M的坐標；若不存在，請說明理由．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：
				題型：
			
          

						
          （2012•鐘祥市模擬）如圖，已知橢圓
          x2
          2
          +y2=1          內(nèi)有一點M，過M作兩條動直線AC、BD分別交橢圓于A、C和B、D兩點，若|
          AB
          |2+|
          CD
          |2=|
          BC
          |2+|
          AD
          |2          ．

          （1）證明：AC⊥BD；
          （2）若M點恰好為橢圓中心O
          （i）四邊形ABCD是否存在內(nèi)切圓？若存在，求其內(nèi)切圓方程；若不存在，請說明理由．
          （ii）求弦AB長的最小值．
          

			
          

			
          
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