Question

【題目】已知函數(shù).

(1)討論的單調(diào)性；

(2)若有兩個(gè)極值點(diǎn)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2)

【解析】

(1)根據(jù)的取值對(duì)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)的影響分類討論即可.

(2)根據(jù)題意，需求的最值，結(jié)合(1)可得且，于是此式可轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求其最值即可.

（1）由題意得，

，

令.

①當(dāng)時(shí)，恒成立，則在上單調(diào)遞減.

②當(dāng)時(shí)，，函數(shù)與軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

則，

所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.

③當(dāng)時(shí)，，函數(shù)與軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

則，

所以時(shí)，單調(diào)遞減；

時(shí)，單調(diào)遞增；

時(shí)，單調(diào)遞減.

綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減.

當(dāng)時(shí)，時(shí)，單調(diào)遞增；

時(shí)，單調(diào)遞減.

當(dāng)時(shí)，時(shí)，單調(diào)遞減；

時(shí)，單調(diào)遞增；

時(shí)，單調(diào)遞減.

（2）由（1）知：時(shí)有兩個(gè)極值點(diǎn)，

且為方程的兩根，

.

.

所以.

所以在時(shí)恒成立.

令，則.

令則，

所以在上單調(diào)遞減.又，

所以在上恒成立，即.所以.

所以在上為減函數(shù).所以.

所以，即的取值范圍是.