Question

設(shè)M為部分正整數(shù)組成的集合，數(shù)列{a_n}的首項a₁=1，前n項的和為S_n，已知對任意的整數(shù)k∈M，當整數(shù)n＞k時，S_n+k+S_n-k=2(S_n+S_k)都成立，
(1)設(shè)M={1}，a₂=2，求a₅的值；
(2)設(shè)M={3，4}，求數(shù)列{a_n}的通項公式．

Answer 1

解：(1)由題設(shè)知，當n≥2時，，
即，
從而2a₁=2，
又a₂=2，
故當n≥2時，a_n=a₂+2(n-2)=2n-2，
所以a₅的值為8．
(2)由題設(shè)知，當k∈M={3，4}且n＞k時，，
且，
兩式相減得，即，
所以當n≥8時，成等差數(shù)列，且也成等差數(shù)列．
從而當n≥8時，， (*)
且，
所以當n≥8時，，即，
于是當n≥9時，成等差數(shù)列，
從而，
故由(*)式知，
即，
當n≥9時，設(shè)，
當2≤n≤8時，n+6≥8，從而由(*)式知，
故，
從而，
于是，
因此，對任意n≥2都成立，
又由可知，
故9d=2S₃且16d=2S₄，解得，從而，
因此，數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列．
由a₁=1知d=2，
所以數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=2n-1．