Question

(1)求證：函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)（0.5，－0.5）對稱； 

(2)求f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)的值;

Answer 1

（1）見解析（2）-3（3）見解析

解析:

(1)設(shè)P(x,y)是y=f(x)的圖象上任意一點(diǎn)，

關(guān)于(0.5，－0.5)對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為:(1-x,-1-y)

∴－1-ｙ＝f（1－ｘ），即函數(shù)ｙ＝f（ｘ）的圖象關(guān)于點(diǎn)（0.5，－0.5）對稱.

(2)由(Ⅰ)有f(1-x)=-1-f(x)即f(x)+f(1-x)= -1

∴f(-2)+f(3)=-1,f(-1)+f(2)=-1,f(0)+f(1)= -1

則f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=-3  

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明

當(dāng)n=1時(shí)，左＝3，右＝1，3＞1不等式成立

當(dāng)n=2時(shí)，左＝9，右＝4，9＞4不等式成立

令n=k(k≥2）不等式成立即3ｋ＞ｋ2

則ｎ＝ｋ＋1時(shí)，左＝3ｋ＋1＝3·3ｋ＞3·ｋ2

右＝（ｋ＋1）2＝ｋ2＋2ｋ＋1

∵3ｋ2－（ｋ2＋2ｋ＋1）＝2ｋ2－2ｋ－1＝2（ｋ－0.5）2－1.5

當(dāng)ｋ≥2，ｋ∈N時(shí)，上式恒為正值

則左＞右，即3ｋ＋1＞（ｋ＋1）2，所以對任何自然數(shù)n，總有3ｎ＞ｎ2成立，即對任何自然數(shù)n，總有bｎ＞ｎ2成立