Question

【題目】(本題滿分14分)

已知正項數(shù)列滿足：對任意正整數(shù)，都有成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，且

（Ⅰ）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；

（Ⅱ）求數(shù)列的通項公式；

(Ⅲ) 設如果對任意正整數(shù)，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）詳見解析；（Ⅲ）

【解析】分析：(I)通過已知得到關于數(shù)列的項的兩個等式,處理方程組得到,利用等差數(shù)列的定義得證；〔II〕利用等差數(shù)列的通項公式求出，求出 ；（III） 先通過裂項求和的方法求出，代入化簡得到關于的二次不等式恒成立，構造新函數(shù)，通過對二次項系數(shù)的討論求出函數(shù)的最大值，令最大值小于，求出的范圍.

詳解：（I）由已知，得①，② .

由②得③.將③代入①得，

對任意，有

即

是等差數(shù)列.

（Ⅱ）設數(shù)列的公差為，

由經計算，得

（Ⅲ）由（1）得

不等式化為

即

設，則對任意正整數(shù)恒成立．

當，即時，不滿足條件；

當，即時，滿足條件；

當，即時，的對稱軸為，關于遞減，

因此，只需解得

綜上，