Question

設(shè)向量

a

=(sinx，

3

cosx)，

b

=（cosx，cosx），(0＜x＜

π

2

)．
（1）若

a

∥

b

，求tanx的值；
（2）求函數(shù)f（x）=

a

•

b

的周期和函數(shù)最大值及相應(yīng)x的值．

Answer 1

分析：（1）利用

a

∥

b

的充要條件得到sinxcosx-

3

cos2x=0，化簡求出tanx的值；
（2）利用向量的數(shù)量積公式求出f（x）的解析式，利用兩個角和的正弦公式及二倍角公式化簡f（x），利用周期公式求出周期；利用整體角處理的思路求出函數(shù)的最大值．

解答：解：（1）∵

a

∥

b

，
∴sinxcosx-

3

cos2x=0，
∵0＜x＜

π

2

，
∴cosx≠0，
∴sinx-

3

cosx=0，
∴tanx=

sinx

cosx

=

3

．
（2）f（x）=

a

•

b

=sinxcosx+

3

cos2x
=

1

2

sin2x+

3

2

cos2x+

3

2

=sin(2x+

π

3

)+

3

2

．
∴T=

2π

2

=π．
∵x∈(0，

π

2

)，
2x+

π

3

∈(

π

3

，

4

3

π)
∴當(dāng)2x+

π

3

=

π

2

，即x=

π

12

時，f（x）取得最大值，最大值為sin

π

2

+

3

2

=1+

3

2

點評：本題考查向量共線的充要條件、向量的數(shù)量積公式；考查求三角函數(shù)的性質(zhì)問題應(yīng)該先化簡三角函數(shù)含一個角一個函數(shù)名的形式，屬于一道中檔題．