Question

（2012•江蘇三模）已知直線y=x與函數(shù)g(x)=

2

x

(x＞0)和圖象交于點(diǎn)Q，P、M分別是直線y=x與函數(shù)g(x)=

2

x

(x＞0)的圖象上異于點(diǎn)Q的兩點(diǎn)，若對(duì)于任意點(diǎn)M，PM≥PQ恒成立，則點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍是

(-∞，

2

)∪（

2

，2

2

]

．

Answer 1

分析：由題意可得點(diǎn)Q（

2

，

2

），設(shè)M（a，

2

a

），且 a＞0，a≠

2

，設(shè)P（b，b），則由PM≥PQ恒成立，可得
b≤

a

2

+

1

a

+

2

．由基本不等式可得

a

2

+

1

a

+

2

＞2

2

，故 b≤2

2

，由此求得點(diǎn)P橫坐標(biāo)b的取值范圍．

解答：解：∵直線y=x與函數(shù)g(x)=

2

x

(x＞0)和圖象交于點(diǎn)Q，∴點(diǎn)Q（

2

，

2

）．
由于 P、M分別是直線y=x與函數(shù)g(x)=

2

x

(x＞0)的圖象上異于點(diǎn)Q的兩點(diǎn)，
設(shè)M（a，

2

a

），且 a＞0，a≠

2

，設(shè)P（b，b），則由PM≥PQ恒成立，
可得 （b-a）²+(b-

2

a

)2≥(b-

2

)2+(b-

2

)2 恒成立，化簡(jiǎn)可得 （2a+

4

a

-4

2

）b≤a²+

4

a2

-4．
由于a＞0，a≠

2

時(shí)，故（2a+

4

a

-4

2

）＞0，且 a²+

4

a2

-4＞0，由不等式可得
b≤

a2+ 4 a2 -4

2a+ 4 a -4 2

=

a4+4-4a2

2a3+4a-4 2 a 2

=

1

2a

•

(a2 -2)2

(a- 2 )2

=

1

2a

•( 

a2 -2

a- 2

)2
=

1

2a

•(a+

2

)2=

a

2

+

1

a

+

2

．
即 b≤

a

2

+

1

a

+

2

．
由a＞0，a≠

2

，利用基本不等式可得

a

2

+

1

a

+

2

＞2

2

，故 b≤2

2

．
再由題意可得，b≠

2

，故點(diǎn)P橫坐標(biāo)b的取值范圍是 (-∞，

2

)∪（

2

，2

2

]．
故答案為 (-∞，

2

)∪（

2

，2

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的恒成立問(wèn)題，基本不等式的應(yīng)用，式子變形是解題的難點(diǎn)和關(guān)鍵，屬于中檔題．