Question

【題目】已知為自然對(duì)數(shù)的底數(shù), ).

(1)設(shè)為的導(dǎo)函數(shù),證明:當(dāng)時(shí), 的最小值小于0;

(2)若恒成立,求符合條件的最小整數(shù)

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）先對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，然后再對(duì)導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，判斷導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間，利用單調(diào)性確定到導(dǎo)函數(shù)的最小值；（2）先根據(jù)條件，確定問(wèn)題即求函數(shù)的最小值大于0，然后對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，利用函數(shù)的單調(diào)性及零點(diǎn)存在定理確定函數(shù)存在零點(diǎn)，并表示零點(diǎn)，然后通過(guò)不等式恒成立，確定關(guān)于的關(guān)系式，再對(duì)該關(guān)系式進(jìn)行求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，求得的取值范圍，最后得到其取到的最小整數(shù).

試題解析：(1)令,則

因?yàn)?/span>,令,則.

所以當(dāng)時(shí), 單調(diào)遞減;

當(dāng)時(shí), 單調(diào)遞增.

則= = ==

令,

當(dāng)時(shí), 單調(diào)遞增;

當(dāng)時(shí), 單調(diào)遞減.

所以,所以成立.

(2) 恒成立,等價(jià)于恒成立.

令,

則因?yàn)?/span>,所以,所以單調(diào)遞增.

又,

所以存在,使得.

則時(shí), 單調(diào)遞減;

時(shí), 單調(diào)遞增.

所以恒成立. ①

且②

由①②得==恒成立.

又由②得,

所以

,

所以,

所以單調(diào)遞增, =,

=,

所以,所以符合條件的最小整數(shù).