Question

已知等差數(shù)列{a_n}中，公差d＞0，前n項(xiàng)和為S_n，a₂•a₃=45，a₁+a₅=18．
（1）求數(shù)列的{a_n}通項(xiàng)公式；
（2）令b_n=

Sn

n+c

（n∈N^*），是否存在一個(gè)非零數(shù)C，使數(shù)列{B_n}也為等差數(shù)列？若存在，求出c的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及已知條件求出首項(xiàng)和公差，即可求出結(jié)果．
（2）代入等差數(shù)列的前n和公式可求s_n，進(jìn)一步可得b_n，然后結(jié)合b_n+1-b_n=2（n+1）-2n=2，從而可求c

解答：解：（1）由題設(shè)，知{a_n}是等差數(shù)列，且公差d＞0
則由

a2a3=45 a1+a5=18

得

(a1+d)(a1+2d)=45 a1+(a1+4d)=18

解得

a1=1 d=4

所以a_n=4n-3
（2）由bn=

Sn

n+c

=

n(1+4n-3) 2

n+c

=

2n(n- 1 2 )

n+c

因?yàn)閏≠0，故c=-

1

2

，得到bn=2n
因?yàn)閎_n+1-b_n=2（n+1）-2n=2，符合等差數(shù)列的定義
所以數(shù)列{b_n}是公差為2的等差數(shù)列．

點(diǎn)評(píng)：本題給出等差數(shù)列滿足的條件，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，并依此討論數(shù)列{b_n}能否成等差的問題．著重考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式和方程組的解法等知識(shí)，屬于中檔題．