Question

已知：函數f（x）=x³-6x+5，x∈R，
（1）求：函數f（x）的單調區(qū)間和極值；
（2）若關于x的方程f（x）=a有3個不同實根，求：實數a的取值范圍；
（3）當x∈（1，+∞）時，f（x）≥k（x-1）恒成立，求：實數k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求函數的導數，令導數等于0，求出極值點，再列表判斷極值點左右兩側導數的正負，當左正右負時有極大值，當左負右正時有極小值，且在某區(qū)間導數大于0時，此區(qū)間為函數的增區(qū)間，在某區(qū)間導數小于0時，此區(qū)間為函數的減區(qū)間．
（2）由（1）知函數f（x）的大致圖象，然后將關于x的方程f（x）=a有3個不同實根，轉化為y=f（x）圖象與直線y=a有3個不同交點，數形結合解決問題
（3）先將f（x）≥k（x-1）恒成立，轉化為k≤x²+x-5在（1，+∞）上恒成立，進而轉化為求函數g（x）=x²+x-5在（1，+∞）上的值域即可

解答：解：（1）求函數f（x）=x³-6x+5的導數，得f'（x）=3（x²-2），
令f'（x）=0，即3（x²-2）=0，解得x1=-

2

，x2=

2

，
列表討論f′（x）的符號，得

x	(-∞，- 2 )	- 2	(- 2 ， 2 )	2	( 2 ，+∞)
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

∴f（x）的單調遞增區(qū)間是(-∞，-

2

)，(

2

，+∞)，單調遞減區(qū)間是(-

2

，

2

)，
當x=-

2

時，函數有極大值為5+4

2

，當x=

2

時，函數有極小值為5-4

2

（2）由（1）的分析可知y=f（x）圖象的大致形狀及走向如圖：
若關于x的方程f（x）=a有3個不同實根，即y=f（x）圖象與直線y=a有3個不同交點，
由圖數形結合可得
5-4

2

＜a＜5+4

2

（3）f（x）≥k（x-1）即（x-1）（x²+x-5）≥k（x-1）．
∵x＞1，∴k≤x²+x-5在（1，+∞）上恒成立，
令g(x)=x2+x-5=(x+

1

2

)2-

21

4

，則g（x）在（1，+∞）上是增函數，
∴g（x）＞g（1）=-3，
∴k≤-3．

點評：本題考查了利用導數求函數單調區(qū)間和極值的方法，利用導數研究函數圖象解決根的個數問題的方法，不等式恒成立問題的解法